Эврика!

Как брать интеграл

Как брать интеграл

Понятие «взятия интеграла» тесно сопряжено с нахождением первообразной функции. Функция F(x) называется первообразной к f(x), если ее производная F’(x) равняется f(x). Так как производная любой константы равна нулю, то и первообразных у f(x) будет бесконечно много. Все они совпадают между собой с точностью до константы. Традиционное обозначение неопределенного интеграла представлено на рис.1.

Вам понадобится

  • Таблица простейших интегралов.

Инструкция



  • В математике существует довольно большое количество способов «взять» интеграл. В данной статье коротко рассмотрены те из них, которые принято называть простейшими приемами интегрирования. Эти приемы используют свойства неопределенных интегралов и тождественные преобразования подынтегральной функции.
  • 1. Непосредственное интегрирование.Непосредственное интегрирование заключается в вычислении интегралов с помощью их определенных свойств и специальных таблиц. Пример 1. Вычислить интеграл ∫(4/(cosx^2)- 3cosx +2/(x-1))dxРешение. ∫(4/(cosx^2)- 3cosx +2/(x-1))dx= 4∫dx/(cosx^2)- 3∫cosxdx +2∫dx/(x-1)=4tgx-3sinx+2ln|x-1| + C.
  • Теперь можно рассмотреть правило, которое позволяет расширить возможности иcпользования таблицы основных интегралов. Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(kx+b)dx=(1/k)F(kx+b)+CПример 2. ∫sin(5x)dx=-(1/5)cos(5x)+ C.
  • 2. Разложение подынтегральной функции. Данный прием заключается в преобразовании подынтегральной функции, используя формулы алгебры и тригонометрии. Подынтегральная функция представляется в виде суммы функций, интегралы от которых можно легко брать.Пример 3. ∫(1+(cosx)^2/(1+cos(2x))dx=[1+cos(2x)=2(cosx)^2 ]=∫(1+(cosx)^2/2(cosx)^2)dx==(1/2)∫1/(cosx)^2)dx+(1/2)∫dx=(1/2)(tgx+x)+C.Пример 4. ∫dx/((sinx)^2)(cosx)^2))= ∫((sinx)^2+(cosx)^2)/((sinx)^2)(cosx)^2))dx=∫(1/(cosx)^2+1/(sinx)^2)dx=tgx-ctgx+C.
  • 3. Подведение под знак дифференциала. Этот прием основан на свойстве инвариантности формул интегрирования. Подынтегральная функция преобразуется к виду f(u(x))u’(x), а затем сомножитель u’(x) подводится под знак дифференциала (интегрируется) – u’(x)dx=d(u(x)), после чего применяется формула ∫(f(u(x))du(x))=u(x)+C.
  • Пример 5. ∫(arctgx/(1+x^2))dx=|dx/(1+x^2)=d(arctgx)|=∫(arctgxd(arctgx))=(1/2)(arctgx)^2+C.Пример 6. ∫xsqrt(1-x^2)dx=|d(1-x^2)=-2xdx|=-(1/2) ∫((1-x^2)^(1/2+1))/(1/2+1) + C =-(1/3)sqrt((1-x^2)^3) + C.Пример 7. ∫((cosx)^3)sin(2x)dx=2∫(cosx)^3)cosxsinxdx=-2∫((cosx)^4)d(cosx)=-(2/5)(cosx)^5+C.

Какая температура плавления металлов
Какая температура плавления металлов
Что такое стоячая волна
Что такое стоячая волна
Как определить падеж у местоимений
Как определить падеж у местоимений
Как найти площадь равнобедренной трапеции
Как найти площадь равнобедренной трапеции
Как найти угол, если известен его тангенс
Как найти угол, если известен его тангенс
Что такое спектральный анализ
Что такое спектральный анализ

© CompleteRepair.Ru