Как доказать, что параллелограмм - прямоугольник

Содержание:

1. Параллелограмм и прямоугольник
2. Определение параллелограмма
3. Доказательство равенства треугольников
4. Исследование составных фигур
5. Сравнение треугольников

Параллелограмм и прямоугольник

Параллелограмм и прямоугольник - две разные геометрические фигуры. Однако, каждый прямоугольник является параллелограммом, но не каждый параллелограмм - прямоугольником. Чтобы доказать, что параллелограмм является прямоугольником, можно использовать признаки равенства треугольников.

Определение параллелограмма

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны. Кроме того, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Прямоугольник также обладает этими свойствами, но кроме того, у него еще и углы, прилежащие к одной стороне, равны и составляют по 90° каждый. Чтобы доказать, что заданная фигура является прямоугольником, необходимо доказать, что у нее не только стороны равны и параллельны, но и все углы являются прямыми.

Доказательство равенства треугольников

Для доказательства, что параллелограмм является прямоугольником, можно использовать признаки равенства треугольников. Начертите параллелограмм ABCD и разделите сторону AB пополам, поставив точку M. Соедините точку M с вершинами углов C и D. Необходимо доказать, что углы MAC и MBD равны. Сумма этих углов, согласно определению параллелограмма, составляет 180°. Но для начала нужно доказать равенство треугольников MAC и MBD, то есть равенство отрезков MC и MD.

Исследование составных фигур

Сделайте еще одно построение, разделив сторону CD пополам и поставив точку N. Обратите внимание на геометрические фигуры, из которых состоит исходный параллелограмм. Он составлен из двух параллелограммов AMND и MBCN, а также из треугольников DMB, MAC и MBD. Доказывается, что AMND и MBCN являются одинаковыми параллелограммами, исходя из свойств параллелограмма. Отрезки AM и MB равны, а также отрезки NC и ND, так как они являются половинками противоположных сторон параллелограмма, которые, по определению, равны. Следовательно, линия MN будет равна сторонам AD и BC и параллельна им. Таким образом, у этих одинаковых параллелограммов диагонали равны, то есть отрезок MD равен отрезку MC.

Сравнение треугольников

Сравните треугольники MAC и MBD. Вспомните признаки равенства треугольников - их три, и в данном случае удобнее всего доказывать равенство по трем сторонам. Стороны MA и MB равны, так как точка M находится на середине отрезка AB. Стороны AD и BC равны по определению параллелограмма. Равенство сторон MD и MC было доказано на предыдущем шаге. Значит, треугольники равны, а это означает, что равны все их элементы, в том числе угол MAD равен углу MBC. Поскольку эти углы прилежат к одной стороне, их сумма составляет 180°. Поделив это число пополам, получаем размер каждого угла - 90°. То есть все углы данного параллелограмма являются прямыми, а это значит, что он представляет собой прямоугольник.