Эврика!

Как доказать, что вектора образуют базис

Как доказать, что вектора образуют базис

Базисом в n-мерном пространстве называется такая система из n векторов, когда все остальные векторы пространства можно представить в виде комбинации векторов, входящих в базис. В трехмерном пространстве в любой базис входят три вектора. Но не любые три образуют базис, поэтому и существует задача проверки системы векторов на возможность построения из них базиса.

Вам понадобится

  • - умение вычислять определитель матрицы

Инструкция

  • Пусть в линейном n-мерном пространстве существует система векторов e1, е2, е3, ... , еn. Их координаты: e1 = (e11; e21; e31; ... ; en1), е2 = (е12; е22; е32; ... ; еn2), ... , еn = (e1n; e2n; e3n; ... ; enn). Чтобы узнать, образуют ли они базис в этом пространстве, составьте матрицу со столбцами e1, е2, е3, ... , еn. Найдите ее определитель и сравните его с нулем. Если определитель матрицы из этих векторов не равен нулю, то такие векторы образуют базис в данном n-мерном линейном пространстве.


  • Например, пусть даны три вектора в трехмерном пространстве a1, a2 и a3. Их координаты: а1 = (3; 1; 4), а2 = (-4; 2; 3) и а3 = (2; -1; -2). Надо выяснить, образуют ли эти вектора базис в трехмерном пространстве. Составьте матрицу из векторов, как показано на рисунке.


  • Вычислите определитель получившейся матрицы. На рисунке показан простой способ вычисления определителя матрицы 3 на 3. Элементы, соединенные линией, следует перемножить. При этом произведения, обозначенные красной линией входят в общую сумму со знаком "+", а соединенные синей линией - со знаком "-". det A = 3*2*(-2) + 1*2*3 + 4*(-4)*(-1) - 2*2*4 - 1*(-4)*(-2) - 3*3*(-1) = -12 + 6 + 16 - 16 - 8 + 9 = -5 -5≠0, следовательно, а1, а2 и а3 образуют базис.

Как решать примеры с корнями
Как решать примеры с корнями
Как рассчитать патент
Как рассчитать патент
Как округлить до десятков
Как округлить до десятков
Как вычесть процент от суммы
Как вычесть процент от суммы
Как включить радар
Как включить радар
Какие звезды самые известные
Какие звезды самые известные

© CompleteRepair.Ru