Главная Войти О сайте

Как доказать, что вектора образуют базис

Как доказать, что вектора образуют базис

Содержание:
  1. Векторный базис в n-мерном пространстве
  2. Проверка системы векторов на образование базиса
  3. Шаги проверки
  4. Пример проверки
  5. Составим матрицу из векторов:
  6. Вычислим определитель получившейся матрицы:

Векторный базис в n-мерном пространстве

Базисом в n-мерном пространстве называется такая система из n векторов, когда все остальные векторы пространства можно представить в виде комбинации векторов, входящих в базис. В трехмерном пространстве в любой базис входят три вектора. Но не любые три образуют базис, поэтому и существует задача проверки системы векторов на возможность построения из них базиса.

Проверка системы векторов на образование базиса

Для проверки системы векторов на образование базиса вам понадобится умение вычислять определитель матрицы.

Шаги проверки

1. Пусть в линейном n-мерном пространстве существует система векторов e1, е2, е3, ..., еn. Их координаты: e1 = (e11; e21; e31; ... ; en1), е2 = (е12; е22; е32; ... ; еn2), ..., еn = (e1n; e2n; e3n; ... ; enn).

2. Чтобы узнать, образуют ли они базис в этом пространстве, составьте матрицу со столбцами e1, е2, е3, ..., еn.

3. Найдите определитель этой матрицы и сравните его с нулем. Если определитель не равен нулю, то система векторов образует базис в данном n-мерном линейном пространстве.

Пример проверки

Например, пусть даны три вектора в трехмерном пространстве a1, a2 и a3. Их координаты: а1 = (3; 1; 4), а2 = (-4; 2; 3) и а3 = (2; -1; -2). Нам нужно выяснить, образуют ли эти вектора базис в трехмерном пространстве.

Составим матрицу из векторов:






















a1 a2 a3
3 -4 2
1 2 -1
4 3 -2

Вычислим определитель получившейся матрицы:

det A = 3*2*(-2) + 1*2*3 + 4*(-4)*(-1) - 2*2*4 - 1*(-4)*(-2) - 3*3*(-1) = -12 + 6 + 16 - 16 - 8 + 9 = -5

Так как определитель не равен нулю (-5≠0), следовательно, вектора a1, a2 и a3 образуют базис.

Таким образом, для проверки системы векторов на образование базиса в n-мерном пространстве необходимо составить матрицу из этих векторов, вычислить ее определитель и сравнить его с нулем.


CompleteRepair.Ru