Как доказать теорему Виета
Содержание:- Теорема Виета: решение квадратных уравнений по упрощенной схеме
- Суть теоремы Виета
- Упрощение решения квадратных уравнений
- Доказательство теоремы Виета
- Вторая формулировка теоремы Виета
Теорема Виета: решение квадратных уравнений по упрощенной схеме
Франсуа Виет - известный французский математик. Он разработал теорему, которая позволяет решать квадратные уравнения по упрощенной схеме, экономя время на расчеты. Для лучшего понимания сути теоремы необходимо разобраться в ее формулировке и доказательстве.
Суть теоремы Виета
Теорема Виета заключается в нахождении корней квадратных уравнений без использования дискриминанта. Для уравнения вида x^2 + bx + c = 0, где имеется два различных действительных корня, справедливы два утверждения.
Первое утверждение гласит, что сумма корней данного уравнения равна коэффициенту при переменной x, но с противоположным знаком. То есть x1 + x2 = -b.
Второе утверждение связано с произведением этих двух корней. Произведение приравнивается к свободному коэффициенту c. Или, x1 * x2 = c. Оба этих утверждения подходят для решения уравнений в системе.
Упрощение решения квадратных уравнений
Теорема Виета существенно упрощает процесс решения квадратных уравнений. Однако она имеет ограничение - уравнение должно быть приведенным. В приведенном уравнении коэффициент a, перед x^2, равен единице. Любое уравнение можно привести к такому виду, разделив все выражение на первый коэффициент, но эта операция не всегда является рациональной.
Доказательство теоремы Виета
Для начала вспомним, как обычно находятся корни квадратного уравнения через дискриминант. Первый и второй корни находятся по формулам: x1 = (-b-√D)/2 и x2 = (-b+√D)/2. Теорему Виета можно применять только в случае, когда a = 1.
Из теоремы Виета известно, что сумма корней равна второму коэффициенту со знаком минус. То есть x1 + x2 = -b.
То же самое верно и для произведения корней: x1 * x2 = (b^2 - D)/4. При этом D = b^2 - 4c (при a = 1). Получается, что x1 * x2 = c.
Из приведенного простого доказательства можно сделать только один вывод: теорема Виета полностью подтверждена.
Вторая формулировка теоремы Виета
Теорема Виета имеет и другую формулировку. Если уравнение имеет два различных действительных корня, то его можно записать в виде: x^2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Если функция P(x) пересекается в двух точках x1 и x2, то ее можно представить в виде P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). Когда P имеет вторую степень, R является простым числом, а именно 1. Это верно, так как в противном случае равенство не выполняется. Коэффициент при раскрытии скобок не должен быть больше единицы, а выражение должно оставаться квадратным.