Эврика!

Регистрация

Как находить асимптоты

Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая, график которой неограниченно прибли-жается к графику функции при неограниченном удалении произвольной точки M (x,y), принадлежащей f(x) на бесконечность (положительную или отрицательную), никогда не пересекая график функции. Удаление точки на бесконечность подразумевает под собой и случай, когда к бесконечности стремится только ордината или абсциссау=f(x). Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.Как находить асимптотыВам понадобится

На практике вертикальные асимптоты отыскиваются совсем просто. Это точки нулей знаменателя функции f(x).
Вертикальная асимптота – это вертикальная прямая. Ее уравнение x=a. Т.е. при х стремящимся к a (справа или слева), функция стремится к бесконечности (положительной или отрицательной).Как находить асимптоты

Горизонтальная асимптота – это горизонтальная прямая y=A, к которой график функции неограниченно приближается при стремлении хк бесконечности (положительной или отрицательно) (см. рис.1), т.е.Как находить асимптоты

Наклонные асимптоты находят немного более сложно. Определение их остается прежним, но задаются они уравнением прямой линии y=kx+b. Расстояние от асимптоты до графика функции здесь, в соответствии с рисунком 1 составляет |MP|. Очевидно, что если |MP| стремится к нулю, то к нулю стремится и длина отрезка |MN |. Точка М – ордината асимптоты, N – функции f(x). Абсцисса у них общая.
Расстояние |MN|=f(xM)- (kxM + b)или просто f(x)- (kx + b) , где k- тангенс угла наклона пряной (асимптоты) к оси абсцисс.f(x)- (kx + b) стремится к нулю, поэтому k можно найти как предел отношения(f(x)- b)/х, при х стремящемся к бесконечности (см. рис.2).Как находить асимптоты

После нахождения k, следует определить b, вычислив предел разности f(x)- kх, при х стремящимся к бесконечности (см. рис.3).
Далее вам необходимо построить график асимптоты, также как и прямой y=kx+b.Как находить асимптоты

Пример. Найти асимптоты графика функцииy=(x^2+2x-1)/(x-1).
1. Очевидная вертикальная асимптота x=1 (как ноль знаменателя).
2. y/x = (x^2+2x-1)/(x-1)x = (x^2+2x-1)/(x^2-x).Поэтому, вычислив предел
на бесконечности от последней рациональной дроби, получиттся k=1.
f(x)-kx= (x^2+2x-1)/(x-1) – x = (x^2+2x-1-x^2+x)/(x-1)=3x/(x-1) - 1/(x-1).
Таким образом, вы получите b=3. . исходное уравнение наклонной асимптоты будет иметь вид:y=x+3 (см. рис.4).Как находить асимптоты

© CompleteRepair.Ru