Эврика!

Как находить интеграл

Содержание

  1. Инструкция

Как находить интеграл

Понятие интеграла напрямую связано с понятием первообразной функции. Иными словами, чтобы найти интеграл указанной функции, нужно найти такую функцию, по отношению к которой исходная будет производной.

Инструкция

  • Интеграл относится к понятиям математического анализа и графически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной на оси абсцисс предельными точками интегрирования. Находить интеграл функции значительно сложнее, чем искать ее производную.
  • Существует несколько методов вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, введение под знак дифференциала, метод подстановки, интегрирование по частям, подстановка Вейерштрасса, теорема Ньютона-Лейбница и др.
  • Непосредственное интегрирование предполагает приведение с помощью простых преобразований исходного интеграла к табличному значению. Например:∫dy/(sin²y·cos²y) = ∫(cos²y + sin²y)/(sin²y·cos²y)dy = ∫dy/sin²y + ∫dy/cos²y = -ctgy + tgy + C.
  • Метод введения под знак дифференциала или замена переменной представляет собой постановку новой переменной. При этом исходный интеграл сводится к новому интегралу, который можно преобразовать к табличному виду методом непосредственного интегрирования:Пусть есть интеграл ∫f(y)dy = F(y) + C и некоторая переменная v = g(y), тогда:∫f(y)dy -> ∫f(v)dv = F(v) + C.
  • Следует запомнить некоторые простейшие подстановки для облегчения работы с этим методом:dy = d(y + b);ydy = 1/2·d(y² + b);sinydy = - d(cosy);cosydy = d(siny).
  • Пример:∫dy/(1 + 4·y²) = ∫dy/(1 + (2·y) ²) = [dy -> d(2·y)] = 1/2·∫d(2·y)/(1 + (2·y) ²) = 1/2·arctg2·y + C.
  • Интегрирование по частям производится по следующей формуле:∫udv = u·v - ∫vdu.Пример:∫y·sinydy = [u = y; v = siny] = y·(-cosy) – ∫(-cosy)dy = -y·cosy + siny + C.
  • Определенный интеграл в большинстве случаев находится по теореме Ньютона-Лейбница:∫f(y)dy на интервале [a; b] равен F(b) – F(a).Пример: Найдите ∫y·sinydy на интервале [0; 2π]:∫y·sinydy = [u = y; v = siny] = y·(-cosy) – ∫(-cosy)dy = (-2π·cos2π + sin2π) – (-0·cos0 + sin0) = -2π.

Как чертить проекции
Как чертить проекции
Как найти сумму корней уравнения
Как найти сумму корней уравнения
Как рассчитать энергетическую ценность
Как рассчитать энергетическую ценность
Как вычислить площадь пирамиды
Как вычислить площадь пирамиды
Как составить побудительное предложение
Как составить побудительное предложение
Каковы химические и физические свойства целлюлозы
Каковы химические и физические свойства целлюлозы

© CompleteRepair.Ru