Как находить интеграл
- Понятие интеграла и первообразной функции
- Интеграл как площадь криволинейной трапеции
- Методы вычисления неопределенного интеграла
- Непосредственное интегрирование
- Метод замены переменной
- Простейшие подстановки
- Примеры применения метода замены переменной
- Интегрирование по частям
- Определенный интеграл и теорема Ньютона-Лейбница
Понятие интеграла и первообразной функции
Понятие интеграла напрямую связано с понятием первообразной функции. Иными словами, чтобы найти интеграл указанной функции, нужно найти такую функцию, по отношению к которой исходная будет производной.
Интеграл как площадь криволинейной трапеции
Интеграл относится к понятиям математического анализа и графически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной на оси абсцисс предельными точками интегрирования. Находить интеграл функции значительно сложнее, чем искать ее производную.
Методы вычисления неопределенного интеграла
Существует несколько методов вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, введение под знак дифференциала, метод подстановки, интегрирование по частям, подстановка Вейерштрасса, теорема Ньютона-Лейбница и другие.
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование предполагает приведение с помощью простых преобразований исходного интеграла к табличному значению. Например, интеграл ∫dy/(sin²y·cos²y) может быть приведен к виду -ctgy + tgy + C.
Метод замены переменной
Метод введения под знак дифференциала или замена переменной представляет собой постановку новой переменной. При этом исходный интеграл сводится к новому интегралу, который можно преобразовать к табличному виду методом непосредственного интегрирования.
Простейшие подстановки
Для облегчения работы с методом замены переменной, следует запомнить некоторые простейшие подстановки, такие как dy = d(y + b), ydy = 1/2·d(y² + b), sinydy = - d(cosy), cosydy = d(siny).
Примеры применения метода замены переменной
Например, интеграл ∫dy/(1 + 4·y²) может быть решен с помощью метода замены переменной, приводя его к виду 1/2·arctg2·y + C.
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям производится по формуле ∫udv = u·v - ∫vdu. Например, интеграл ∫y·sinydy может быть решен с помощью метода интегрирования по частям, приводя его к виду -y·cosy + siny + C.
Определенный интеграл и теорема Ньютона-Лейбница
Определенный интеграл в большинстве случаев находится по теореме Ньютона-Лейбница: ∫f(y)dy на интервале [a; b] равен F(b) – F(a). Например, интеграл ∫y·sinydy на интервале [0; 2π] равен -2π.
