Как находить пределы

Содержание:

1. Изучение пределов дробно-рациональных функций
2. Дробно-рациональные функции
3. Вычисление пределов на бесконечности
4. Пределы на бесконечности
5. Вычисление пределов при x, стремящемся к нулю
6. Пределы при числовых значениях аргумента
7. Методология поиска предела
8. Поиск предела
9. Предел при удалении корней

Изучение пределов дробно-рациональных функций

Как правило, изучение методологии вычисления пределов начинают с изучения пределов дробно-рациональных функций. Далее рассматриваемые функции усложняются, а также расширяется набор правил и способов работы с ними (например, правило Лопиталя). Однако не стоит забегать вперед, лучше, не изменяя традиции, рассмотреть вопрос о пределах дробно-рациональных функций.

Дробно-рациональные функции

Следует напомнить, что дробно-рациональной называется функция, представляющая собой отношение двух рациональных функций: R(x)=Pm(x)/Qn(x). Здесь Pm(x)=a0x^m+a1x^(m-1)+…+a(m-1)x+am; Qn(x)=b0x^n+b1x^(n-1)+…+b(n-1)x+bn.

Вычисление пределов на бесконечности

Рассмотрите вопрос о пределе R(x) на бесконечности. Для этого преобразуйте вид Pm(x) и Qn(x). Pm(x)=(x^m)(a0+a1(x^((m-1)-m))+…+a(m-1)(x^(1-m))+am(x^(-m)))=(x^m)(a0+a1(1/x)+…+a(m-1)(1/x^(m-1))+am/(1/x^m).

Пределы на бесконечности

При х, стремящемся к бесконечности, все пределы вида 1/x^k (k>0) обращаются в нуль. То же самое можно сказать о Qn(x). Осталось разобраться с пределом отношения (x^m)/(x^n)= x^(m-n) на бесконечности. Если n>m, он равен нулю, если n<=m, он равен бесконечности.

Вычисление пределов при x, стремящемся к нулю

Теперь следует предположить, что x стремится к нулю. Если применить подстановку y=1/x и, считая, что an и bm отличны от нуля, то получится, что при x, стремящемся к нулю, y стремится к бесконечности. После несложных преобразований становится ясно, что правило нахождения предела приобретает вид.

Пределы при числовых значениях аргумента

Более серьезные задачи возникают при поиске пределов, в которых аргумент стремится к числовым значениям, где знаменатель дроби равен нулю. Если в этих точках числитель также равен нулю, то возникают неопределенности типа [0/0], иначе в них находится устранимый разрыв, и предел будет найден. В противном случае он не существует (в том числе и равен бесконечности).

Методология поиска предела

Методология поиска предела в данной ситуации следующая. Известно, что любой многочлен можно представить в виде произведения линейных и квадратичных множителей, причем квадратичные множители всегда отличны от нуля. Линейные всегда перепишутся в виде kx+c= k(x-a), где a=-c/k.

Поиск предела

При этом известно, что если х=a – корень многочлена Pm(x)=a0x^m+a1x^(m-1)+…+a(m-1)x+am (то есть решение уравнения Pm(x)=0), то Pm(x)=(x-a)P(m-1)(x). Если при этом x=a и корень Qn(х), то Qn(x)=(x-a)Q(n-1)(x). Тогда R(x)=Pm(x)/Qn(x)=P(m-1)(x)/Q(n-1)(x).

Предел при удалении корней

Когда x=a более не является корнем хотя бы одного из вновь полученных многочленов, то задача поиска предела решена и lim(x→a)(Pm(x)/Qn(x))=P(m-1)(a)/Qn(a). Если нет, то предложенную методику следует повторять вплоть до устранения неопределенности.