Как находить пределы последовательности

Содержание:

1. Изучение методологии вычисления пределов последовательностей
2. Числовая последовательность и ее предел
3. Первый способ вычисления предела последовательности
4. Пример 2. Доказательство отсутствия предела
5. Задачи непосредственного вычисления предела последовательности
6. Не традиционный способ нахождения предела последовательности
7. Пример 3. Найдем сумму вида 1+1/2!+1/3!+...+1/n!+...=s.

Изучение методологии вычисления пределов последовательностей

Изучение методологии вычисления пределов начинается с вычисления пределов последовательностей. В этом случае, аргумент является натуральным числом n, стремящимся к положительной бесконечности. Поэтому более сложные случаи попадают на долю функций.

Числовая последовательность и ее предел

Числовую последовательность можно рассматривать как функцию xn=f(n), где n - натуральное число (обозначается {xn}). Элементы последовательности xn называются членами последовательности, а n - номером члена. Если функция f(n) задана аналитически формулой, то xn=f(n) называется формулой общего члена последовательности. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого ε>0 существует номер n=n(ε), начиная с которого выполняется неравенство |xn-a|<ε.

Первый способ вычисления предела последовательности

Первый способ вычисления предела последовательности основан на ее определении. Он позволяет доказать, что какое-либо число а является или не является пределом последовательности, но не дает прямого способа его поиска.

Пример 1. Докажем, что последовательность {xn} = {(3n^2-2n-1)/(n^2-n-2)} имеет предел а=3.

Решение. Мы проведем доказательство, используя определение в обратном порядке. Предварительно упростим формулу для xn:

xn = (3n^2+4n+2)/(n^2+3n+2) = ((3n+1)(n+1))/((n+2)(n+1)) = (3n+1)/(n+2).

Рассмотрим неравенство |(3n+1)/(n+2)-3|<ε. Чтобы найти натуральное число nε, при котором это неравенство выполняется, нужно найти nε, большее -2+5/ε.

Пример 2. Доказательство отсутствия предела

Докажем, что число а=1 не является пределом последовательности из примера 1.

Решение. Вновь упростим общий член последовательности. Возьмем ε=1 (это любое число >0). Запишите заключающее неравенство общего определения |(3n+1)/(n+2)-1|<ε.

Задачи непосредственного вычисления предела последовательности

Задачи непосредственного вычисления предела последовательности имеют однообразную структуру. Все они содержат отношения полиномов относительно n или иррациональных выражений относительно этих полиномов. При решении таких задач нужно вынести за скобки составляющую, находящуюся в старшей степени, и затем записать ответ: 0, если pq.

Не традиционный способ нахождения предела последовательности

Мы можем использовать функциональные последовательности для нахождения предела последовательности и бесконечных сумм.

Пример 3. Найдем сумму вида 1+1/2!+1/3!+...+1/n!+...=s.

Решение. Положим 1=exp(0) и рассмотрим функциональную последовательность {1+x+x^2/2! +x^3/3! +...+x^n/n!}, n=0,1,2,... . Заметим, что этот полином совпадает с многочленом Тейлора для exp(x). Подставим x=1, тогда exp(1)=e=1+1+1/2!+1/3!+...+1/n!+...=1+s. Ответ: s=e-1.