Как находить промежутки возрастания и убывания
- Определение возрастающей функции
- Использование производной для определения возрастания функции
- Пример 1: Нахождение промежутков монотонности функции
- Нахождение производной и интервалов монотонности функции
- Пример 2: Нахождение промежутков возрастания и убывания функции
- Пример 3: Нахождение интервалов монотонности функции
Определение возрастающей функции
Функция y=f(x) считается возрастающей на некотором промежутке, если для произвольных х2>x1 f(x2)>f(x1).
Использование производной для определения возрастания функции
Известно, что для возрастающей функции y=f(x) ее производная f’(x)>0. То есть, если производная функции положительна, то функция возрастает.
Пример 1: Нахождение промежутков монотонности функции
Рассмотрим функцию y=(x^3)/(4-x^2) и определим ее промежутки монотонности. Функция определена на всей числовой оси, кроме х=2 и х=-2. Также она является нечетной функцией, что означает ее симметрию относительно начала координат. Исследуя поведение функции только для положительных значений х, можно затем достроить отрицательную ветвь функции симметрично положительной.
Нахождение производной и интервалов монотонности функции
Производная функции y=(x^3)/(4-x^2) равна y’=(x^2)(12-x^2)/((4-x^2)^2). Производная не существует при x=2 и x=-2, что означает отсутствие функции в этих точках. Далее необходимо найти интервалы монотонности функции, решая неравенство: (x^2)(12-x^2)/((4-x^2)^2)>0. Используя метод интервалов, можно определить эти интервалы и получить график функции.
Пример 2: Нахождение промежутков возрастания и убывания функции
Рассмотрим функцию y=x+lnx/x и определим ее промежутки возрастания и убывания. Область определения функции - x>0. Производная функции y=1+(1-lnx)/(x^2) равна (x^2+1-lnx)/(x^2). Знак производной при x>0 полностью определяется выражением (x^2+1-lnx). Так как x^2+1>lnx, то производная функции положительна, и следовательно, функция возрастает на всей своей области определения.
Пример 3: Нахождение интервалов монотонности функции
Рассмотрим функцию y’=x^4-2x^2-5 и определим ее интервалы монотонности. Производная функции y=4x(x-1)(x+1) может быть записана в виде произведения трех множителей. Используя метод интервалов, мы можем определить промежутки, на которых функция возрастает или убывает.
В результате, использование производной позволяет определить интервалы монотонности и поведение функции на них. Этот метод является эффективным инструментом в анализе функций и позволяет более глубоко изучать их свойства. С помощью примеров было показано, как можно применить этот метод для нахождения промежутков монотонности и возрастания функций.