Как находить вершины функции
- Нахождение точек максимума функции
- Нахождение критических точек
- Процедура поиска точек максимума функции
- Пример нахождения наибольших значений функции
- Рассмотрим пример нахождения наибольших значений функции y=f(x).
- Дана функция y=x+3 при x≤-1 и y=((x^2)^(1/3)) –х при x>-1.
- Заключение
Нахождение точек максимума функции
Для функций (точнее их графиков) используется понятие наибольшего значения, в том числе и локального максимума. Понятие же «вершина» скорее связано с геометрическими фигурами. Точки максимумов гладких функций (имеющих производную) легко определить с помощью нулей первой производной.
Нахождение критических точек
Для точек, в которых функция не дифференцируема, но непрерывна, наибольшее на промежутке значение может иметь вид острия (на пример y=-|x|). В таких точках к графику функции можно провести сколь угодно много касательных и производная для нее просто не существует. Сами функции такого типа обычно задаются на отрезках. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.
Процедура поиска точек максимума функции
Итак, для нахождения точек максимумов функции y=f(x) следует:
- найти критические точки;
- для того чтобы выбрать происходит чередование знака с «+» на «-», то имеет место максимум.
Пример нахождения наибольших значений функции
Рассмотрим пример нахождения наибольших значений функции y=f(x).
Дана функция y=x+3 при x≤-1 и y=((x^2)^(1/3)) –х при x>-1.
Функция задана на отрезках умышленно, так как в данном случае преследуется цель отобразить все в одном примере. Легко проверить, что при х=-1 функция остается непрерывной.
Производная функции равна y’=1 при x≤-1 и y’=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3(x^(1/3))/(x^(1/3)) при x>-1. Производная равна нулю при x=8/27. Производная не существует при x=-1 и x=0. При этом производная больше нуля, если x<8/27, и меньше нуля, если x>8/27.
Таким образом, наибольшие значения функции f(x) достигаются при x=8/27.
Заключение
Нахождение точек максимума функции является важной задачей в математике. Для гладких функций можно использовать производную, а для функций, которые не дифференцируемы, но непрерывны, можно искать критические точки. Примеры показывают процесс нахождения наибольших значений функции и подтверждают правильность применяемых методов.
