Как находить значение производной функции

Содержание:

1. Дифференцирование функций
2. Исследование области значений аргумента
3. Нахождение производных простых функций
4. Правила дифференцирования
5. Упрощение выражения перед дифференцированием
6. Вычисление значения производной

Дифференцирование функций

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Одна и та же функция может при одних значениях аргумента иметь производную, а при других — не иметь.

Исследование области значений аргумента

Прежде чем искать производную функции необходимо исследовать область значений аргумента и исключить те промежутки, при которых существование функции невозможно. Например, для функции f=1/x недопустимо значение аргумента х=0, а для функции z=logа x допустимы только положительные значения аргумента.

Нахождение производных простых функций

Производные простых функций одного аргумента находятся по формулам дифференцирования, которые можно запомнить или при необходимости найти в таблицах производных элементарных функций. Например, производная постоянной всегда равна нулю, производная линейной функции f(x)=kx равна коэффициенту k: f'(x)=k, функция f(x)= x² имеет производную f'(x)=2x.

Правила дифференцирования

При дифференцировании действуют правила, общие для любой функции:
- постоянный множитель можно выносить за знак производной: (k*f(x))'=k*(f(x))';
- производная суммы нескольких функций одного и того же аргумента равна сумме производных этих функций: (z(x) + f(x))'=z'(x)+f'(x);
- производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую функцию и первой функции на производную второй функции: (z(x)*f(x))'=z'(x)*f(x) + z(x)*f'(x);
- производная частного двух функций выглядит так: (z/f)'= (z'*f- z*f')/f².

Упрощение выражения перед дифференцированием

Прежде чем применять эти правила при дифференцировании сложной функции, имеет смысл попытаться упростить исходное выражение. Например, если нужно найти производную дроби с многочленом в числителе, можно почленно разделить числитель на знаменатель. Тогда нахождение производной частного функций заменяется на вычисление производной алгебраической суммы функций. Конечно, каждое слагаемое в полученном выражении останется дробью, и находить производную частного придется, но выражения будут менее громоздкими, и процесс дифференцирования существенно упростится.

Вычисление значения производной

Для вычисления значения производной от функции в конкретной точке, в полученном ответе вместо аргумента x подставьте его численное значение и рассчитайте выражение.