Как найти асимптоты функции

Содержание:

1. Исследование функции и построение ее графика
2. Асимптоты функции
3. Вертикальные асимптоты
4. Поиск вертикальной асимптоты
5. Вычисление пределов
6. Результат
7. Наклонные и горизонтальные асимптоты
8. Поиск наклонных и горизонтальной асимптоты
9. Итог

Исследование функции и построение ее графика

Полное исследование функции и построение ее графика предполагают целый спектр действий, включая нахождение асимптот, которые бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Асимптоты функции

Асимптоты функции применяются для облегчения построения ее графика, а также исследования свойств ее поведения. Асимптота – это прямая линия, к которой приближается бесконечная ветвь кривой, заданной функцией. Различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты

Вертикальные асимптоты функции параллельны оси ординат, это прямые вида x = x0, где x0 – граничная точка области определения. Граничной называется точка, в которой односторонние пределы функции являются бесконечными. Для того, чтобы найти асимптоты этого рода, нужно исследовать ее поведение, вычислив пределы.

Поиск вертикальной асимптоты

Найдите вертикальную асимптоту функции f(х) = х²/(4•х² - 1). Для начала определите ее область определения. Это может быть только значение, при котором знаменатель обращается в ноль, т.е. решите уравнение 4•х² – 1 = 0 → х=±1/2.

Вычисление пределов

Вычислите односторонние пределы: lim_(х→-1/2) х²/(4•х² - 1) = lim х²/((2•х - 1)•(2•х + 1)) = +∞.lim_(х→1/2) х²/(4•х² - 1) = -∞.

Результат

Таким образом, вы выяснили, что оба односторонних предела являются бесконечными. Следовательно, прямые х=1/2 и х=-1/2 являются вертикальными асимптотами.

Наклонные и горизонтальные асимптоты

Наклонные асимптоты – это прямые вида k•х+b, в которых k = lim f/х и b = lim (f – k•х) при х→∞. Такая асимптота станет горизонтальной при k=0 и b≠∞.

Поиск наклонных и горизонтальной асимптоты

Узнайте, имеет ли функция из предыдущего примера наклонные или горизонтальные асимптоты. Для этого определите коэффициенты уравнения прямой асимптоты через следующие пределы:k = lim (х²/(4•х² - 1))/х = 0;b = lim (х²/(4•х² - 1) – k•х) = lim х²/(4•х² - 1) = 1/4.

Итог

Итак, у этой функции есть и наклонная асимптота, а поскольку выполняется условие нулевого коэффициента k и b, не равного бесконечности, то она горизонтальная. Ответ: функция х²/(4•х² - 1) имеет две вертикальные x = 1/2; x = -1/2 и одну горизонтальную у = 1/4 асимптоты.