Как найти базис системы вектор-столбцов
- Использование специальных признаков
- Проверка линейной независимости системы векторов через определитель
- Примеры проверки линейной независимости системы векторов
- Получение простейшего базиса
Основные определения для проверки линейной независимости системы векторов
Перед рассмотрением данного вопроса стоит напомнить, что любая упорядоченная система n линейно независимых векторов пространства R^n называется базисом этого пространства. При этом образующие систему векторы будут считаться линейно независимыми, если любая их нулевая линейная комбинация возможна только за счет равенства нулю всех коэффициентов этой комбинации.
Использование специальных признаков
Вам понадобится - бумага;- ручка. Инструкция 1 Пользуясь только лишь основными определениями проверить линейную независимость системы вектор-столбцов, а соответственно и дать заключение о наличии базиса, весьма затруднительно. Поэтому в данном случае вам может помочь использование некоторых специальных признаков.
Проверка линейной независимости системы векторов через определитель
Известно, что векторы линейно независимы, если составленный из них определитель не равен нулю. Исходя из этого, можно достаточно объяснить тот факт, что система векторов образует базис. Итак, для того чтобы обосновать, что векторы образуют базис, следует составить из их координат определитель и убедиться, что он не равен нулю. В дальнейшем, для сокращения и упрощения записей, представление вектор-столбца матрицей-столбцом будем заменять транспонированной матрицей-строкой.
Примеры проверки линейной независимости системы векторов
Пример 1
Образуют ли базис в R^3 вектор-столбцы (1, 3, 5)^T, (2, 6, 4)^T, (3, 9, 0)^T.
Решение. Составьте определитель |A|, строками которого являются элементы заданных столбцов (см. рис.1). Раскрыв этот определитель по правилу треугольников, получится: |A| = 0+90+36-90-36-0=0. Следовательно, эти векторы не могут образовать базис.
Пример 2
Система векторов состоит из (10, 3, 6)^T, (1, 3, 4)^T, (3, 9, 2)^T. Могут ли они образовать базис?
Решение. По аналогии с первым примером составьте определитель (см. рис.2): |A| =60+54+36-54-360-6=270, т.е. не равно нулю. Следовательно, эта система вектор-столбцов пригодна для использования в качестве базиса в R^3.
Получение простейшего базиса
Теперь со всей очевидностью становится ясно, что для нахождения базиса системы вектор-столбцов вполне достаточно взять любой определитель подходящей размерности отличный от нуля. Элементы его столбцов образуют базисную систему. Мало того, всегда желательно иметь простейший базис. Так как определитель единичной матрицы всегда отличен от нуля (при любой размерности), то в качестве базиса всегда можно выбрать систему (1, 0, 0,…,0)^T, (0, 1, 0,…,0)^T, (0, 0, 1,…,0)^T,…, (0, 0, 0,…,1)^T.