Как найти дифференциал

Содержание:

1. Дифференциал в физике и математике
2. Движение и скорость
3. Дифференциал функции
4. Дифференциалы сложных функций
5. Свойства дифференциала

Дифференциал в физике и математике

Дифференциал тесно связан не только с математикой, но и с физикой. Он рассматривается во многих задачах, связанных с нахождением скорости, которая зависит от расстояния и времени. В математике определение дифференциала - это производная функции. Дифференциал имеет ряд специфических свойств.

Движение и скорость

Представьте, что некоторая точка A за определенный промежуток времени t прошла путь s. Уравнение движения точки A можно записать в следующем виде: s=f(t), где f(t) - функция пройденного пути. Поскольку скорость находится путем деления пути на время, она является производной пути, и, соответственно, указанной выше функции: v=s' = f(t). При изменении скорости и времени скорость вычисляется следующим образом: v=Δs/Δt=ds/dt=s't. Все полученные значения скорости являются производными пути. За некоторый промежуток времени, соответственно, может измениться и скорость. Кроме того, методом дифференциального исчисления находят и ускорение, которое является первой производной скорости и второй производной пути. Когда говорится о второй производной функции, речь идет о дифференциалах второго порядка.

Дифференциал функции

Дифференциал функции с математической точки зрения является производной, которая записывается в следующем виде: dy=df(x)=y'dx=f'(x)Δx. Когда дана обыкновенная функция, выраженная в числовых значениях, дифференциал вычисляется по следующей формуле: f'(x)=(x^n)'=n*x^n-1. Например, в задаче дана функция: f(x)=x^4. Тогда дифференциал этой функции равен: dy = f'(x) = (x^4)' = 4x^3. Дифференциалы простых тригонометрических функций приведены во всех справочниках по высшей математике. Производная функции y=sin x равна выражению (y)'=(sinx)'=cosx. Также в справочниках даны дифференциалы ряда логарифмических функций.

Дифференциалы сложных функций

Дифференциалы сложных функций вычисляются путем использования таблицы дифференциалов и знания некоторых их свойств. Ниже приведены основные свойства дифференциала.

Свойства дифференциала

Свойство 1. Дифференциал суммы равен сумме дифференциалов. d(a+b)=da+db. Данное свойство применимо независимо от того, какая функция дана - тригонометрическая или обычная.

Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак дифференциала. d(2a)=2d(a).

Свойство 3. Произведение сложной дифференциальной функции равно произведению одной простой функции на дифференциал второй, сложенному с произведением второй функции на дифференциал первой. Выглядит это следующим образом: d(uv)=du*v+dv*u. Таким примером может служить функция y=x sinx, дифференциал которой равен: y'=(xsinx)'=(x)'*sinx+(sinx)'*x=sinx+cosx^2.