Как найти дисперсию
- Дисперсия как мера разброса случайной величины
- Определение дисперсии случайной величины
- Альтернативное определение дисперсии
- Дисперсия через вероятность
- Дисперсия и стандартное отклонение
Дисперсия как мера разброса случайной величины
В теории вероятности дисперсия играет важную роль как мера разброса случайной величины. Она позволяет определить, насколько велика вариация значений случайной величины относительно её математического ожидания. Дисперсия обозначается как D[X] и связана со стандартным отклонением.
Определение дисперсии случайной величины
Для понимания дисперсии случайной величины, необходимо знать её математическое ожидание и отклонение от этого ожидания. Дисперсия случайной величины X определяется как среднее значение квадрата отклонения X от её математического ожидания. Мы можем обозначить среднее значение X как ||X|| и записать дисперсию как D[X] = ||(X-M[X])^2||, где M[X] - математическое ожидание случайной величины.
Альтернативное определение дисперсии
Дисперсию можно также записать в виде M[|X-M[X]|^2]. Если величина X вещественная, то дисперсию можно упростить до D[X] = M[X^2]-(M[X])^2. Это связано с линейностью математического ожидания.
Дисперсия через вероятность
Еще один способ записи дисперсии - с использованием вероятностей. Пусть P(i) - вероятность того, что случайная величина X принимает значение X(i). Тогда формула для дисперсии будет выглядеть следующим образом: D[X] = ?(P(i)((X(i)-M[X])^2)), где знак ? обозначает суммирование по индексу i от i = 1 до i = k.
Дисперсия и стандартное отклонение
Дисперсию случайной величины можно выразить через стандартное отклонение. Среднеквадратичное отклонение случайной величины X - это квадратный корень из её дисперсии: ? = sqrt(D[X]). Следовательно, дисперсию можно записать как D[X] = ?^2 - квадрат стандартного отклонения.
Таким образом, дисперсия является важной характеристикой случайной величины, которая позволяет измерить разброс её значений относительно математического ожидания. Определение дисперсии может быть дано в различных формах, включая выражение через стандартное отклонение или вероятности. Понимание дисперсии помогает в анализе и прогнозировании случайных явлений.