Как найти гипотенузу по двум катетам
- Теорема Пифагора: основы и применение
- Классическая формулировка теоремы Пифагора
- Примеры применения теоремы Пифагора
- Упрощенная формула для равных катетов
- Связь с общей теоремой косинусов
- Исторические сведения
Теорема Пифагора: основы и применение
Теорема Пифагора является фундаментальной для всей математики. Она устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Сейчас зафиксировано 367 доказательств этой теоремы.
Классическая формулировка теоремы Пифагора
Классическая школьная формулировка теоремы Пифагора звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Следовательно, чтобы найти гипотенузу прямоугольного треугольника по двум катетам, необходимо возвести в квадрат длины катетов, сложить их и извлечь квадратный корень из результата. Изначально теорема утверждала, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей двух квадратов, построенных на катетах. Однако современная алгебраическая формулировка не требует вводить понятие площади.
Примеры применения теоремы Пифагора
Для примера, пусть дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны 7 см и 8 см. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен 7²+8²=49+64=113 см². Сама гипотенуза равна корню квадратному из числа 113, получившегося иррационального числа.
Еще один пример: если катеты треугольника равны 3 и 4, то гипотенуза равна √25=5. При извлечении квадратного корня получается натуральное число. Числа 3, 4, 5 составляют пифагорову тройку, удовлетворяющую соотношению x²+y²=z², где x, y и z - натуральные числа. Другие примеры пифагоровых троек: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.
Упрощенная формула для равных катетов
Если оба катета прямоугольного треугольника равны числу A, тогда теорема Пифагора переходит в более простое уравнение. C²=A²+A², C²=2A², C=A√2. В этом случае нет необходимости возводить число A в квадрат.
Связь с общей теоремой косинусов
Теорема Пифагора является частным случаем более общей теоремы косинусов, которая устанавливает соотношение между тремя сторонами треугольника для произвольного угла между какими-либо двумя из них.
Исторические сведения
Прямоугольный треугольник, стороны которого соотносятся как 3:4:5, называется египетским треугольником, так как именно такие фигуры активно использовались архитекторами Древнего Египта. Он является также простейшим примером Героновых треугольников, в которых стороны и площадь представлены целыми числами.
