Эврика!

Как найти градиент

Как найти градиент

При рассмотрении вопросов, включающих понятие градиента, чаще всего функции воспринимают как скалярные поля. Поэтому необходимо ввести соответствующие обозначения.

Вам понадобится

  • - буман;
  • - ручка.

Инструкция

  • Пусть функция задается тремя аргументами u=f(x, y, z). Частную производную функции, на пример по х, определяют как производную по этому аргументу, полученную при фиксировании остальных аргументов. Для остальных аргументов аналогично. Обозначения частной производной записывается в виде: дf/дх = u’x …
  • Полный дифференциал будет равен du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz.Частные производные можно понимать, как производные по направлениям координатных осей. Поэтому возникает вопрос о нахождении производной по направлению заданного вектора s в точке M(x, y, z) (не забывайте, что направление s задает единичный вектор-орт s^o). При этом вектор-дифференциал аргументов {dx, dy, dz}={дscos(альфа), дsсоs(бета), дsсоs(гамма)}.
  • Учитывая вид полного дифференциала du, можно сделать вывод, что производная по направле-нию s в точке М равна:(дu/дs)|M=((дf/дх)|M)соs(альфа)+ ((дf/дy)|M) соs(бета) +((дf/дz)|M) соs(гамма).
    Если s= s(sx,sy,sz), то направляющие косинусы {соs(альфа), соs(бета), соs(гамма)} вычисляются (см. рис.1а).
  • Определение производной по направлению, считая точку М переменной, можно переписать в виде скалярного произведения:
    (дu/дs)=({дf/дх, дf/дy,дf/дz}, {соs(альфа), соs(бета), соs(гамма)})=(grad u, s^o). Данное выражение будет справедливо для скалярного поля. Если рассматривается просто функ-ция, то gradf – это вектор, имеющий координаты, совпадающие с частными производными f(x, y, z).gradf(x,y,z)={{дf/дх, дf/дy, дf/дz}=)=(дf/дх)i+(дf/дy)j +(дf/дz)k. Здесь (i, j, k) – орты координатных осей в прямоугольной декартовой системе координат.
  • Если использовать дифференциальный вектор-оператор Гамильтона набла, то gradf можно записать, как умножение этого вектора-оператора на скаляр f (см. рис. 1б). С точки зрения связи gradf c производной по направлению, равенство (gradf, s^o)=0 возможно, если эти векторы ортогональны. Поэтому gradf часто определяют, как направление быстрейшего изменения скалярного поля. А с точки зрения дифференциальных операций (gradf - одна из них), свойства gradf в точности повторяют свойства дифференцирования функций. В частности, если f=uv, то gradf=(vgradu+u gradv).

Как запомнить столицы
Как запомнить столицы
Как сделать уксусную эссенцию
Как сделать уксусную эссенцию
Как начертить угол без транспортира
Как начертить угол без транспортира
Как вычислить объем кислорода
Как вычислить объем кислорода
Как появился самолёт
Как появился самолёт
Когда была открыта периодическая система Менделеева?
Когда была открыта периодическая система Менделеева?

© CompleteRepair.Ru