Как найти корни кубического уравнения
- Метод нахождения корней кубического уравнения
- Шаг 1: Метод подбора
- Шаг 2: Подбор делителей
- Шаг 3: Деление на двучлен
- Шаг 4: Решение квадратного уравнения
- Пример решения
Метод нахождения корней кубического уравнения
Для решения кубических уравнений (полиномиальных уравнений третьей степени) существует несколько методов. Некоторые из них основаны на формулах Виета и Кардана. Однако существует и более простой алгоритм нахождения корней кубического уравнения.
Шаг 1: Метод подбора
Рассмотрите кубическое уравнение вида Ax³ + Bx² + Cx + D = 0, где A ≠ 0. Для нахождения корней примените метод подбора. Важно заметить, что один из корней уравнения третьей степени всегда является делителем свободного члена D.
Шаг 2: Подбор делителей
Найдите все делители коэффициента D, то есть все целые числа (положительные и отрицательные), на которые свободный член D делится без остатка. Подставьте эти делители поочередно в исходное уравнение вместо переменной x. Найдите такое число x1, при котором уравнение становится верным. Это число будет одним из корней кубического уравнения. Общее количество корней у кубического уравнения равно трем (как вещественные, так и комплексные числа).
Шаг 3: Деление на двучлен
Разделите многочлен Ax³ + Bx² + Cx + D на двучлен (x - x1), где x1 - найденный корень из предыдущего шага. В результате деления получится квадратный многочлен ax² + bx + c, остаток будет равен нулю.
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Приравняйте полученный квадратный многочлен ax² + bx + c к нулю: ax² + bx + c = 0. Найдите корни этого квадратного уравнения, используя формулы: x2 = (-b + √(b² - 4ac))/(2a) и x3 = (-b - √(b² - 4ac))/(2a). Эти корни также будут являться корнями исходного кубического уравнения.
Пример решения
Рассмотрим пример уравнения третьей степени: 2x³ - 11x² + 12x + 9 = 0. Здесь A = 2 ≠ 0, а свободный член D = 9. Найдем все делители коэффициента D: 1, -1, 3, -3, 9, -9. Подставим эти делители в уравнение вместо неизвестной x. Получим следующие значения: 2×1³ - 11×1² + 12×1 + 9 = 12 ≠ 0; 2×(-1)³ - 11×(-1)² + 12×(-1) + 9 = -16 ≠ 0; 2×3³ - 11×3² + 12×3 + 9 = 0. Таким образом, один из корней данного кубического уравнения x1 = 3.
Теперь разделим обе части исходного уравнения на двучлен (x - 3). Получим квадратное уравнение: 2x² - 5x - 3 = 0, где a = 2, b = -5, c = -3. Найдем корни этого квадратного уравнения: x2 = (5 + √((-5)² - 4×2×(-3)))/(2×2) = 3, x3 = (5 - √((-5)² - 4×2×(-3)))/(2×2) = -0,5. Таким образом, кубическое уравнение 2x³ - 11x² + 12x + 9 = 0 имеет действительные корни x1 = x2 = 3 и x3 = -0,5.
