Эврика!

Как найти максимальное значение функции

Содержание

  1. Инструкция

Как найти максимальное значение функции

Пусть дана некоторая функция, заданная аналитически, то есть выражением вида f(x). Требуется исследовать функцию и вычислить максимальное значение, которое она принимает на заданном отрезке [a, b].

Инструкция

  • Прежде всего нужно установить, определена ли заданная функция на всем отрезке [a, b] и если у нее есть точки разрыва, то какого рода эти разрывы. Например, функция f(x) = 1/x вовсе не имеет ни максимального, ни минимального значения на отрезке [-1, 1], поскольку в точке x = 0 стремится к плюс бесконечности справа и к минус бесконечности слева.
  • Если заданная функция — линейная, то есть задана уравнением вида y = kx + b, где k ≠ 0, то она на всей своей области определения монотонно возрастает, если k > 0; и монотонно убывает, если k < 0. Следовательно, максимальным ее значением на любом заданном отрезке будет f(b), если k > 0; и f(a), если k < 0.
  • Следующий шаг — исследование функции на экстремумы. Даже если установлено, что f(a) > f(b) (или наоборот), функция может достигать больших значений в точке максимума.
  • Чтобы найти точку максимума, необходимо прибегнуть к помощи производной. Известно, что если в точке x0 функция f(x) имеет экстремум (то есть максимум, минимум или стационарную точку), то ее производная f′(x) в этой точке обращается в ноль: f′(x0) = 0.Для определения, какой из трех видов экстремума находится в обнаруженной точке, нужно исследовать поведение производной в ее окрестностях. Если она меняет знак с плюса на минус, то есть монотонно убывает, то в найденной точке исходная функция имеет максимум. Если производная меняет знак с минуса на плюс, то есть монотонно возрастает, то в найденной точке исходная функция имеет минимум. Если же, наконец, производная не меняет знака, то x0 — это стационарная точка для исходной функции.
  • В тех случаях, когда вычислить знаки производной в окрестностях найденной точки сложно, можно воспользоваться второй производной f′′(x) и определить знак этой функции в точке x0:- если f′′(x0) > 0, то найдена точка минимума;
    - если f′′(x0) < 0, то найдена точка максимума;
    - наконец, если f′′(x0) = 0, то найдена стационарная точка.
  • Для окончательного решения задачи необходимо выбрать максимальное из значений функции f(x) на концах отрезка и во всех найденных точках максимума.

Как найти коэффициент жесткости пружины
Как найти коэффициент жесткости пружины
Что такое амперметр
Что такое амперметр
Как определить работу тока
Как определить работу тока
Признаки России как федеративного государства
Признаки России как федеративного государства
Как найти мгновенную скорость
Как найти мгновенную скорость
Как найти длину отрезка по координатам
Как найти длину отрезка по координатам

© CompleteRepair.Ru