Как найти матрицу перехода

Содержание:

1. Матрицы перехода и марковские цепи
2. Определение и свойства марковских цепей
3. Цепи Маркова и матрицы перехода
4. Пример использования матриц перехода для задачи о блуждающих частицах

Матрицы перехода и марковские цепи

Марковские цепи являются особым типом марковских процессов, где состояние в будущем зависит только от текущего состояния и не связано с прошлым. При изучении таких цепей возникают матрицы перехода, которые играют важную роль в их анализе и предсказании.

Определение и свойства марковских цепей

Марковская цепь представляет собой случайный процесс X(t), где вероятностное описание опирается на плотность вероятности сечений W(x1, x2,…,xn; t1, t2,…,tn). С использованием условных плотностей вероятностей, она может быть переписана в виде W(x1, x2,…,xn; t1, t2,…,tn)= W(x1, x2,…,x(n-1); t1, t2,…,t(n-1))∙W(xn, tn|x1, t1, x2,t2, …,x(n-1), t(n-1)). Это позволяет полностью определить состояния марковского процесса на основе его начального состояния и плотностей вероятностей переходов.

Цепи Маркова и матрицы перехода

Для дискретных последовательностей с дискретными состояниями и временем, марковский процесс принимает форму цепи Маркова. Матрицы перехода в цепи Маркова составляются из условных вероятностей перехода p(ij), которые определяют вероятность перехода из состояния xi в состояние xj за один шаг. Задачи о блуждающих частицах являются типичными примерами использования матриц перехода.

Пример использования матриц перехода для задачи о блуждающих частицах

В качестве примера рассмотрим систему с пятью состояниями x1, x2, x3, x4, x5, где первое и пятое состояния являются граничными. На каждом шаге система может перейти только в соседнее состояние, при этом с вероятностью p она движется к x5, а с вероятностью q она движется к x1 (p+q=1). При достижении границы система может перейти в состояние x3 с вероятностью v или остаться в прежнем состоянии с вероятностью 1-v.

Для решения данной задачи построим граф состояний, где каждое состояние представлено вершиной, а ребра указывают на вероятности переходов между состояниями. Это позволит наглядно представить все возможные переходы и вероятности для данной системы.

Таким образом, матрицы перехода играют важную роль в анализе марковских цепей и позволяют предсказывать состояния процесса в будущем на основе текущего состояния. Они широко используются для решения различных задач, включая задачи о блуждающих частицах.