Как найти монотонность функции
- Монотонность функции: основные определения
- Определение монотонного возрастания и убывания
- Свойства монотонных функций
- Исследование функции на монотонность
Монотонность функции: основные определения
Монотонность — это определение поведения функции на отрезке числовой оси. Функция может быть монотонно возрастающей или монотонно убывающей. На участке монотонности функция непрерывна.
Определение монотонного возрастания и убывания
Если на некотором числовом промежутке с ростом аргумента функция увеличивается, то на этом участке функция монотонно возрастает. График функции на участке монотонного возрастания направлен снизу вверх. Если каждому меньшему значению аргумента соответствует уменьшающаяся по сравнению с предыдущей величина функции, то такая функция является монотонно убывающей, а ее график постоянно понижается.
Свойства монотонных функций
Монотонные функции обладают определенными свойствами. Например, сумма монотонно возрастающих (убывающих) функций есть возрастающая (убывающая) функция. При умножении возрастающей функции на постоянный положительный множитель эта функция сохраняет монотонный рост. Если же постоянный множитель меньше нуля, то функция из монотонно возрастающей становится монотонно убывающей.
Исследование функции на монотонность
Границы интервалов монотонного поведения функции определяются при исследовании функции с помощью первой производной. Физический смысл первой производной функции — это скорость изменения данной функции. У растущей функции скорость постоянно увеличивается, другими словами — если первая производная на некотором интервале положительна, функция на этом участке монотонно возрастающая. И наоборот — если на отрезке числовой оси первая производная функции меньше нуля, то эта функция монотонно убывает в границах интервала. Если производная равна нулю, то значение функции не меняется.
Исследование функции на монотонность с использованием первой производной
Для исследования функции на монотонность на заданном интервале с помощью первой производной определите, принадлежит ли данный интервал к области допустимых значений аргумента. Если функция на данном отрезке оси существует и дифференцируема, найдите ее производную. Определите условия, при которых производная больше или меньше нуля. Сделайте вывод о поведении исследуемой функции. Например, производная линейной функции есть постоянное число, равное множителю при аргументе. При положительном значении этого множителя исходная функция монотонно возрастает, при отрицательном — монотонно убывает.