Как найти наименьший период функции

Шаг 1: Замена значений х на (х+Т)

Для начала, воспользуйтесь определением периодической функции. Замените все значения х в функции на (х+Т), где Т - наименьший период функции. Решите полученное уравнение, считая Т неизвестным числом.

Шаг 2: Подбор минимального периода из полученного тождества

В результате решения уравнения получите некое тождество. Попробуйте подобрать минимальный период, исходя из этого тождества. Например, если получилось равенство sin(2T)=0,5, следовательно, 2Т=П/6, что означает, что Т=П/12.

Шаг 3: Определение непериодичности функции

Если равенство получается верным только при Т=0 или параметр Т зависит от х (например, получилось равенство 2Т=х), делайте вывод о том, что функция не является периодической.

Шаг 4: Правило для определения периода функции

Чтобы найти наименьший период функции, содержащей только одно тригонометрическое выражение, воспользуйтесь следующим правилом. Если в выражении стоит sin или cos, периодом функции будет 2П, а для функций tg, ctg - наименьший период П. Учтите, что функция не должна быть возведена в степень, и переменная под знаком функции не должна быть умножена на число, отличное от 1.

Шаг 5: Уменьшение периода при возведении sin или cos в четную степень

Если cos или sin внутри функции возведены в четную степень, уменьшите период 2П в два раза. Графически это можно представить так: график функции, расположенный ниже оси ох, симметрично отразится вверх, поэтому функция будет повторяться в два раза чаще.

Шаг 6: Учет умножения угла под знаком тригонометрической функции

Чтобы найти наименьший период функции, когда угол х умножен на какое-либо число, определите стандартный период этой функции (например, для cos это 2П). Затем разделите его на множитель перед переменной. Это и будет искомый наименьший период. Уменьшение периода можно наглядно увидеть на графике: он сжимается ровно в столько раз, на сколько умножен угол под знаком тригонометрической функции.

Шаг 7: Увеличение периода при наличии дробного числа перед х

Обратите внимание, что если перед х стоит дробное число меньше 1, период увеличивается, то есть график, напротив, растягивается.

Шаг 8: Объединение двух периодических функций

Если в вашем выражении две периодические функции умножены друг на друга, найдите наименьший период для каждой по отдельности. Затем определите наименьший общий множитель для них. Например, для периодов П и 2/3П наименьший общий множитель будет 3П (он делится без остатка как на П, так и на 2/3П).

Надеемся, что эти шаги помогут вам определить наименьший период функции и изучить ее свойства на отрезке, равном этому периоду.

Как найти наименьший период функции

Периодические функции: определение и поиск наименьшего периода