Как найти нормаль плоскости
- Определение нормали плоскости
- Метод задания нормали по общему уравнению плоскости
- Вычисление нормали плоскости через векторное произведение
- Формула вычисления нормали плоскости
- Пример вычисления нормали плоскости
Определение нормали плоскости
Нормаль плоскости n (вектор нормали к плоскости) – это любой направленный перпендикуляр к ней (ортогональный вектор). Дальнейшие выкладки по определении нормали зависят от способа задания плоскости.
Метод задания нормали по общему уравнению плоскости
Если задано общее уравнение плоскости - AX+BY+CZ+D=0 или его форма A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, то можно сразу записать ответ - n(А, В, С). Дело в том, что это уравнение было получено, как задача определения уравнения плоскости по нормали и точке.
Вычисление нормали плоскости через векторное произведение
Для получения общего ответа, вам понадобится векторное произведение векторов из-за того, что последнее всегда перпендикулярно исходным векторам. Итак, векторным произведением векторов, является некоторый вектор, модуль которого равен произведению модуля первого (а) на модуль второго (b) и на синус угла между ними. При этом этот вектор (обозначьте его через n) ортогонален a и b – это главное. Тройка этих векторов правая, то есть из конца n кратчайший поворот от a к b совершается против часовой стрелки. [a,b] - одно из общепринятых обозначений векторного произведения. Для вычисления векторного произведения в координатной форме, используется вектор-определитель.
Формула вычисления нормали плоскости
Для того чтобы не путаться со знаком «-», перепишите результат в виде: n={nx, ny, nz}=i(aybz-azby)+j(azbx-axbz)+k(axby-aybx), и в координатах: {nx, ny, nz}={(aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)}. Более того, дабы не путаться с численными примерами выпишете все полученные значения по отдельности: nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx.
Пример вычисления нормали плоскости
Вернитесь к решению поставленной задачи. Плоскость можно задать различными способами. Пусть нормаль к плоскости определяется двумя неколлинеарными векторами, причем сразу численно. Пусть даны векторы a(2, 4, 5) и b(3, 2, 6). Нормаль к плоскости совпадает с их векторным произведением и, как только что было выяснено будет равна n(nx, ny, nz),nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx. В данном случае ax=2, ay=4, az=5, bx=3, by=2, bz=6. Таким образом, nx=24-10=14, ny=12-15=-3, nz=4-8=-4. Нормаль найдена - n(14, -3, -4). При этом она является нормалью к целому семейству плоскостей.
