Эврика!

Как найти нормальный вектор к плоскости

Содержание

  1. Инструкция

Как найти нормальный вектор к плоскости

Нормальным вектором плоскости (или нормалью плоскости) называют вектор, перпендикулярный данной плоскости. Одним из способов задать плоскость является указание координат ее нормали и точки, лежащей на плоскости. Если плоскость задана уравнением Ax+By+Cz+D=0, то нормальным к ней является вектор с координатами (A;B;C). В других случаях для вычисления нормального вектора придется потрудиться.

Инструкция

  • Пусть плоскость задана тремя принадлежащими ей точками K(xk;yk;zk), M(xm;ym;zm), P(xp;yp;zp). Чтобы найти нормальный вектор, составим уравнение этой плоскости. Обозначьте произвольную точку, лежащую на плоскости, буквой L, пусть у нее будут координаты (x;y;z). Теперь рассмотрите три вектора PK, PM и PL, они лежат на одной плоскости (компланарны), поэтому их смешанное произведение равно нулю.
  • Найдите координаты векторов PK, PM и PL:
    PK = (xk-xp;yk-yp;zk-zp)
    PM = (xm-xp;ym-yp;zm-zp)
    PL = (x-xp;y-yp;z-zp)
    Смешанное произведение этих векторов будет равно определителю, представленному на рисунке. Этот определитель следует вычислить, чтобы найти уравнение для плоскости. Вычисление смешанного произведения для конкретного случая смотрите в примере.
  • Пример
    Пусть плоскость задана тремя точками K(2;1;-2), M(0;0;-1) и P(1;8;1). Требуется найти нормальный вектор плоскости.
    Возьмите произвольную точку L с координатами (x;y;z). Вычислите векторы PK, PM и PL:
    PK = (2-1;1-8;-2-1) = (1;-7;-3)
    PM = (0-1;0-8;-1-1) = (-1;-8;-2)
    PL = (x-1;y-8;z-1)
    Составьте определитель для смешанного произведения векторов (он на рисунке).
  • Теперь разложите определитель по первой строке, а затем подсчитайте значения определителей размера 2 на 2.
    Таким образом уравнение плоскости -10x + 5y - 15z - 15 = 0 или, что то же, -2x + y - 3z - 3 = 0. Отсюда легко определить вектор нормали к плоскости: n = (-2;1;-3).

Как плавить руду
Как плавить руду
Как вычислить дробную степень
Как вычислить дробную степень
Как повысить давление газа
Как повысить давление газа
Как найти площадь параллепипеда
Как найти площадь параллепипеда
Как вычислять в системах счисления
Как вычислять в системах счисления
Как решать модуль
Как решать модуль

© CompleteRepair.Ru