Как найти норму матрицы
- Норма матрицы: основа математических моделей
- Универсальность нормы матрицы
- Норма как показатель "мощности" матрицы
- Три вида норм матрицы
- Вычисление нормы матрицы
- Пример вычисления нормы матрицы
- Для примера, рассмотрим матрицу:
- a11+a12=11; a21+a22=12; a31+a32=5
- Вычислим все виды норм для данной матрицы:
- ‖А‖_1 = 12
- ‖А‖_2 = 16
- ‖А‖_3 = √(25+36+9+81+16+1) = √168 ≈ 13
Норма матрицы: основа математических моделей
Матрица – основа любой математической модели, будь то решение системы уравнений или задачи линейного программирования. Чтобы найти норму матрицы, нужно фактически получить действительное число по определенной схеме.
Универсальность нормы матрицы
Понятие нормы универсально для любой матрицы, квадратной или неквадратной, матрицы-столбца или строки, размерность также может быть любой. Эта характеристика используется в качестве оценочной величины для анализа изменяемости матрицы в каком-либо расчетном процессе или совокупности нескольких матриц.
Норма как показатель "мощности" матрицы
Норма можно считать показателем "мощности" матрицы. Она обозначается ‖A‖ и равна действительному числу, которое должно соответствовать определенному набору условий: ‖А‖ ≥ 0, причем равенство нулю выполняется только для нулевой матрицы; ‖а•А‖ = ‖а‖•‖А‖, где а принадлежит множеству рациональных чисел; ‖А+В‖ ≤ ‖А‖ + ‖В‖ - коммутативность.
Три вида норм матрицы
Норма, для которой выполняется также свойство ‖А•В‖ ≤ ‖А‖ • ‖В‖, называется мультипликативной. Существует три вида норм: бесконечная, первая и евклидова. Все они являются каноническими, т.е. их значения не меньше по модулю любого матричного элемента. На практике обычно вычисляют только один из видов, этого достаточно для объективной оценки.
Вычисление нормы матрицы
Для расчета нормы матрицы существуют различные методы, каждый из которых основан на расчете суммы элементов матрицы. Для бесконечной нормы необходимо просуммировать по модулю значения элементов отдельно по каждой строке и выбрать из них максимальное значение. Для первой нормы аналогичные действия выполняются для каждого столбца. Евклидова норма подразумевает возведение каждого элемента в квадрат, суммирование и извлечение квадратного корня из общего результата.
Пример вычисления нормы матрицы
Для примера, рассмотрим матрицу:
a11+a12=11; a21+a22=12; a31+a32=5
Вычислим все виды норм для данной матрицы:
‖А‖_1 = 12
‖А‖_2 = 16
‖А‖_3 = √(25+36+9+81+16+1) = √168 ≈ 13
Таким образом, норма матрицы позволяет оценить ее "мощность" и изменяемость, что является важным инструментом в математическом моделировании.
