Как найти область определения функции

Чтобы найти область определения функции, нужно вычислить границы одного или нескольких интервалов, содержащих точки, в которых она имеет смысл. Это первое действие при решении задач на математический анализ поведения функций.

Область определения функции

Задание любой функции – это указание правила, по которому связаны друг с другом элементы двух множеств. Первое называется областью определения функции. Это такие допустимые значения ее аргумента, которые соответствуют определенным элементам второго множества, области значений функции.

Ограничения в области определения функции

Считается, что функция задана, если известны оба этих множества. Иногда областью определения является бесконечный интервал (-∞; +∞), но в большинстве случаев присутствуют некоторые ограничения, которые накладываются составляющими элементами выражения функции. Например, в ней могут присутствовать такие математические понятия, как корень, степень, логарифмическая или тригонометрическая подфункция и пр.

Алгоритм нахождения области определения функции

Алгоритм нахождения области определения функции состоит из трех этапов: определение типа или типов ограничений, составление и решение соответствующих неравенств, запись интервала или интервалов допустимых значений аргумента.

Типы подфункций, накладывающих ограничения на область определения

Существует шесть типов подфункций, присутствие которых в основном выражении может наложить ограничение на область ее определения. Это подкоренное выражение, степенная функция, логарифм, выражение под чертой дроби и некоторые тригонометрические функции.

Запись неравенств согласно ограничениям

Запишите неравенства согласно выявленным ограничениям:

Функция под знаком корня, т.е. в дробной степени с четным числом в знаменателе: f(x) ≥ 0;
Функция в степени показателя другой функции того же аргумента: f(x) > 0;
Логарифм log_a f(x): f(x) > 0;
Отношение двух функций f(x)/g(x): g(x) ≠ 0;
tg f(x) и сtg f(x): f(x) ≠ π•k + π/2;
arcsin f(x) и arccos f(x): -1 ≤ f(x) ≤ 1.

Решение неравенств и запись интервала

Решите неравенства и запишите интервал, закрытый или открытый в зависимости от того, являются ли его границы выколотыми точками или принадлежат области определения. Об этом говорят обозначения: квадратная скобка означает вхождение в интервал, а круглая - исключение. Например, если область задана интервалом (1; 3], то для ее элементов выполняется двойное неравенство 1 < x ≤ 3.