Главная Войти О сайте

Как найти общее решение дифференциального уравнения?

Как найти общее решение дифференциального уравнения?

Содержание:
  1. Основные понятия дифференциальных уравнений
  2. Общее решение дифференциальных уравнений
  3. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения
  4. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений
  5. Общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений
  6. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений в общем случае

Основные понятия дифференциальных уравнений

Любое дифференциальное уравнение (ДУ) состоит из искомой функции и ее производных по отношению к аргументу. Процесс решения ДУ часто называется интегрированием, а само решение - интегралом. Неопределенные интегралы содержат произвольные константы, что приводит к наличию констант в решении ДУ.

Общее решение дифференциальных уравнений

Общее решение ДУ любого порядка не требуется составлять, так как оно формируется само по себе, если не использовались начальные или краевые условия. Особая ситуация возникает при решении линейных ДУ с постоянными коэффициентами, где определенное решение выбирается на основе алгоритмов, полученных из теоретических сведений.

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения

Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) n-го порядка имеет вид L[y]=0, где L[y] - линейный дифференциальный оператор. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) имеет вид L[y]=f(x), где f(x) - функция.

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений

Если искать решения ЛОДУ в виде y=exp(kx), где k - константа, то получим характеристическое уравнение k^n+(a1)k^(n-1)+…+a(n-1)k+an=0. Решения этого уравнения называются корнями характеристического уравнения. Функции y=exp[kx] соответствуют этим корням и являются решениями ЛОДУ.

Общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений

Алгебраическое уравнение n-й степени имеет n корней. Каждому вещественному корню ki соответствует функция y=exp[(ki)x]. Если все корни действительные и различные, то общее решение ЛОДУ можно записать в виде y=C1∙exp[(k1)∙x]+ C2∙exp[(k2)∙x]+…+Cn∙exp[(kn)∙x].

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений в общем случае

В общем случае, характеристическое уравнение может иметь вещественные кратные и комплексно сопряженные корни. При наличии комплексно сопряженной пары корней, решение ЛОДУ записывается в виде y=C1∙exp(p∙x)sin(q∙x)+C2∙exp(p∙x)cos(q∙x). Для случая одного вещественного корня кратности r=2, используется y=C1∙exp(p∙x)+C2∙x∙exp(p∙x).

Алгоритм составления общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

Для составления общего решения ЛОДУ второго порядка y''+a1∙y'+a2∙y=0, следует составить характеристическое уравнение k^2+a1∙k+a2=0. Если уравнение имеет два действительных корня k1≠k2, то общее решение ЛОДУ можно выбрать в виде y=C1∙exp[(k1)∙x]+ C2∙exp[(k2)∙x]. Если есть один действительный корень k, кратности r=2, то y=C1∙exp[k∙x]+ C2∙x∙exp[k2∙x]=exp[k∙x](C1+ C2∙x∙exp[k∙x]). При наличии комплексно-сопряженной пары корней k1=p+i∙q и k2=p-i∙q, решение ЛОДУ записывается как y=C1∙exp(p∙x)sin(q∙x)+C2∙exp(p∙x)cos(q∙x).

Применение методики для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений

Известно, что общее решение ЛНДУ L[y]=f(x) равно сумме общего решения ЛОДУ и частного решения ЛНДУ. Поэтому, если уже найдено частное решение ЛНДУ, можно использовать описанную методику для составления общего решения ЛНДУ.


CompleteRepair.Ru