Эврика!

Как найти общее решение дифференциального уравнения?

Содержание

  1. Инструкция

Как найти общее решение дифференциального уравнения?

Любое дифференциальное уравнение (ДУ), кроме искомой функции и аргумента содержит в себе производные этой функции. Дифференцирование и интегрирование являются обратными операциями. Поэтому процесс решения (ДУ) часто называют его интегрированием, а само решение – интегралом. Неопределенные интегралы содержат произвольные константы, поэтому в ДУ также содержатся константы, а само решение, определенное с точностью до констант, является общим.

Инструкция

  • Общее решение ДУ любого порядка составлять совершенно незачем. Оно образуется само собой, если в процессе его получения не использовались начальные или краевые условия. Другое дело, если определенного решения не было, и они выбирались по заданным алгоритмам, полученным на основе теоретических сведений. Именно так и происходит, если речь идет о линейных ДУ с постоянным коэффициентами n-го порядка.


  • Линейное однородное ДУ (ЛОДУ) n-го порядка имеет вид (см. рис. 1).Если его левую часть обозначить как линейный дифференциальный оператор L[y], то ЛОДУ перепишется в виде L[y]=0, и L[y]=f(x) – для линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ).
  • Если искать решения ЛОДУ в виде y=exp(k∙x), то y’=k∙exp(k∙x), y’’=(k^2)∙exp(k∙x), …, y^(n-1)=(k^(n-1))∙exp(k∙x), y^n=(k^n)∙exp(k∙x). После сокращения на y=exp(k∙x), вы придете к уравнению: k^n+(a1)k^(n-1)+…+a(n-1)∙k+an=0, называемому характеристическим. Это обычное алгебраическое уравнение. Таким образом, если k - корень характеристического уравнения, то функция y=exp[k∙x] - решение ЛОДУ.
  • Алгебраическое уравнение n-й степени имеет n корней (с учетом кратных и комплексных). Каждому вещественному корню ki кратности «один» соответствует функция y=exp[(ki)x], поэтому, если все они действительные и различные, то с учетом того, что любая линейная комбинация этих экспонент тоже является решением, можно составить общее решение ЛОДУ: y=C1∙exp[(k1)∙x]+ C2∙exp[(k2)∙x]+…+Cn∙exp[(kn)∙x].
  • В общем случае, среди решений характеристического уравнения могут находиться вещественные кратные и комплексно сопряженные корни. При построении общего решения в обозначенной ситуации ограничьтесь ЛОДУ второго порядка. Здесь возможно получение двух корней характеристического уравнения. Пусть это будет комплексно сопряженная пара k1=p+i∙q и k2=p-i∙q. Применение экспонент с такими показателями даст комплексно-значные функции при исходном уравнении с действительными коэффициентами. Поэтому их преобразуют по формуле Эйлера и приводят к виду y1=exp(p∙x)∙sin(q∙x) и y2=exp(p∙x)cos(q∙x). Для случая одного вещественного корня кратности r=2 используют y1=exp(p∙x) и y2=x∙exp(p∙x).
  • Окончательный алгоритм. Требуется составить общее решение ЛОДУ второго порядка y’’+a1∙y’+a2∙y=0.Составьте характеристическое уравнение k^2+a1∙k+a2=0.Если оно имеет действительные корни k1≠k2, то его общее решение выберите в виде y=C1∙exp[(k1)∙x]+ C2∙exp[(k2)∙x].Если имеется один действительный корень k, кратности r=2, то y=C1∙exp[k∙x]+ C2∙x∙exp[k2∙x]=exp[k∙x](C1+ C2∙x∙exp[k∙x]).Если имеется комплексно сопряженная пара корней k1=p+i∙q и k2=p-i∙q, то ответ запишите в виде y=C1∙exp(p∙x)sin(q∙x)++C2∙exp(p∙x)cos(q∙x).

Как измерить вибрацию
Как измерить вибрацию
Как определить расстояние до планет
Как определить расстояние до планет
Как найти площадь фигуры ограниченной линиями
Как найти площадь фигуры ограниченной линиями
Как изменить цвет огня
Как изменить цвет огня
Кто придумал штрих-корректор
Кто придумал штрих-корректор
Как и чем питаются растения
Как и чем питаются растения

© CompleteRepair.Ru