Как найти площадь параллелограмма, если известны только его стороны
- Параллелограмм: определение, свойства и методы решения
- 1-й способ (геометрический)
- 2-й способ (векторный)
Параллелограмм: определение, свойства и методы решения
Параллелограмм является определенной фигурой, если известны одно из его оснований, боковая сторона и угол между ними. Существуют различные методы решения задач, связанных с параллелограммом, включая использование векторной алгебры без необходимости в чертеже. Однако, при заданных только длинах сторон, задача может не иметь однозначного решения. Чтобы решить такую задачу, вам понадобятся бумага, ручка и линейка.
1-й способ (геометрический)
Дан параллелограмм АВСD, где известны длина основания AD=|a|, длина боковой стороны AB=|b| и угол между ними ф (рис. 1). Площадь параллелограмма может быть определена выражением S=|a|h, где h является высотой параллелограмма и равна BF=ABsinф=|b|sinф. Таким образом, S=|a||b|sinф.
Например, если AD=|a|=8, AB=|b|=4 и ф=п/6, то S=8*4*sin(1/2)=16 кв. ед.
2-й способ (векторный)
Векторное произведение двух векторов a и b определяется как вектор, ортогональный произведению векторов и совпадающий с площадью параллелограмма, построенного на этих векторах. В данном случае, параллелограмм задан векторами a и b, как показано на рис. 1.
Для вычисления векторного произведения в координатной форме используется вектор-определитель (см. рис. 2). В данном случае, a(8,0,0) и b(2sqrt(3,2),0,0), где ось 0z "смотрит" прямо на нас из плоскости рисунка, а сами векторы лежат в плоскости 0xy.
В координатах вектор-определитель может быть записан как n={nx, ny, nz}=i(aybz-azby)+j(azbx-axbz)+k(axby-aybx), а в численной форме как {nx, ny, nz}={(aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)}.
Подставив значения из условия, получаем: nx=0, ny=0, nz=16. Таким образом, S=|nz|=16 ед. кв.
Таким образом, параллелограммы могут быть решены с использованием геометрических и векторных методов, в зависимости от заданных данных. Важно помнить, что при заданных только длинах сторон, задача может иметь несколько возможных решений.