Главная Войти О сайте

Как найти площадь треугольника по векторам

Как найти площадь треугольника по векторам

Содержание:
  1. Как вычислить площадь треугольника через координаты его вершин
  2. Вычисление площади треугольника с помощью определителя
  3. Пример расчета площади треугольника
  4. Вычисление площади треугольника через длины его сторон
  5. Пример расчета площади треугольника через длины его сторон
  6. Расчет площади треугольника через формулу Герона

Как вычислить площадь треугольника через координаты его вершин

Треугольник - это простейшая из многоугольных плоских фигур, которую можно задать с помощью координат точек в вершинах ее углов. Площадь участка плоскости, который будет ограничен сторонами этой фигуры, в декартовой системе координат можно вычислить несколькими способами.

Вычисление площади треугольника с помощью определителя

Если координаты вершин треугольника даны в двухмерном декартовом пространстве, то сначала составьте матрицу из разниц значений координат точек, лежащих в вершинах. Затем используйте определитель второго порядка для полученной матрицы - он будет равен векторному произведению двух векторов, составляющих стороны треугольника.

Формула площади треугольника через координаты его вершин выглядит следующим образом: S=|(X₁-X₃)•(Y₂-Y₃)-(X₂-X₃)•(Y₁-Y₃)|/2.

Пример расчета площади треугольника

Допустим, даны координаты вершин треугольника на двухмерной плоскости: A(-2, 2), B(3, 3) и C(5, -2). Подставив числовые значения переменных в формулу, получим: S=|(-2-5)•(3-(-2))-(3-5)•(2-(-2))|/2=|-7•5-(-2)•4|/2=|-35+8|/2=27/2=13,5 сантиметров.

Вычисление площади треугольника через длины его сторон

Можно действовать по-другому - сначала вычислить длины всех сторон, а затем использовать формулу Герона, которая определяет площадь треугольника именно через длины его сторон.

Длины сторон треугольника вычисляются с использованием теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, составленного из самой стороны (гипотенуза) и проекций каждой стороны на оси координат (катеты).

Пример расчета площади треугольника через длины его сторон

Для координат вершин треугольника, приведенных выше, длины сторон будут следующими: AB=√((-2-3)²+(2-3)²)≈5,1, BC=√((3-5)²+(3-(-2))²)≈5,36, CA=√((5-(-2))²+(-2-2)²)≈8,06.

Расчет площади треугольника через формулу Герона

Полупериметр треугольника вычисляется, сложив длины сторон и разделив результат на двойку.

Для треугольника с предыдущими длинами сторон полупериметр будет приблизительно равен p≈(5,1+5,36+8,06)/2≈9,26.

Площадь треугольника вычисляется по формуле Герона: S=√(p(p-AB)(p-BC)(p-CA)).

Для треугольника с предыдущими длинами сторон площадь составит S=√(9,26•(9,26-5,1)•(9,26-5,36)•(9,26-8,06))≈13,42.

Как видите, результат на восемь сотых отличается от полученного на первом шаге - это результат округлений, использованных при расчетах на третьем, четвертом и пятом шагах.


CompleteRepair.Ru