Главная Войти О сайте

Как найти производную вектора

Как найти производную вектора

Содержание:
  1. Понятие радиус-вектора и его запись
  2. Вектор-функция и годограф вектора
  3. Производная вектор-функции
  4. Геометрический смысл производной длины дуги

Понятие радиус-вектора и его запись

При описании векторов в координатной форме используется понятие радиус-вектора. Независимо от того, где исходно лежит вектор, его начало всегда совпадает с началом координат, а его конец определяется его координатами. Радиус-вектор обычно записывается как r=r(М)=x∙i+y∙j+z∙k, где (x, y, z) - декартовы координаты вектора.

Вектор-функция и годограф вектора

Вектор может изменяться в зависимости от некоторого скалярного параметра, например, времени t. В этом случае вектор можно представить как функцию трех аргументов, заданную параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), z=z(t). Такая функция обозначается как r=r(t)=x(t)∙i+y(t)∙j+z(t)∙k. Линия, которую описывает конец радиус-вектора по мере изменения параметра t, называется годографом вектора. Соотношение r=r(t) называется вектор-функцией или векторной функцией скалярного аргумента.

Производная вектор-функции

Вектор-функция - это вектор, зависящий от параметра. Производная вектор-функции (как и любой функции, представленной в виде суммы) записывается как r’=dr/dt=r’(t)= x’(t)∙i+y’(t)∙j+z’(t)∙k. Производная каждой функции, входящей в эту запись, определяется традиционным способом. При вычислении производной вектора на число, число можно выносить за знак производной. Для скалярного и векторного произведения справедливы правила вычисления производной произведения функций. Для векторного произведения [r(t),g(t)]’= [r’(t),g(t)]+[r(t)g’(t)]. Также существует понятие произведения скалярной функции на векторную, где правило дифференцирования произведения функций сохраняется.

Геометрический смысл производной длины дуги

Особый интерес представляет вектор-функция длины дуги s, по которой перемещается конец вектора, отсчитываемая от некоторой начальной точки Мо. Эта функция обозначается как r=r(s)=u(s)∙i+v(s)∙j+w(s)∙k. Геометрический смысл производной dr/ds заключается в определении направления касательной к кривой, по которой перемещается конец вектора. Отрезок АВ, на котором лежит ∆r, является хордой дуги, а его длина равна ∆s. При стремлении ∆r к нулю, отношение длины дуги к длине хорды стремится к единице. Получаемая при этом производная направлена по касательной к кривой и является единичным вектором. Вторая производная (d^2)r/(ds)^2=(d/ds)[dr/ds]=d&sigma/ds может быть записана как производная единичного вектора по параметру s.


CompleteRepair.Ru