Как найти радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности
- Инструкция по вычислению радиуса вписанной окружности
- Шаг 1: Построение треугольника
- Шаг 2: Вычисление сторон треугольника
- Шаг 3: Вычисление полупериметра
- Шаг 4: Вычисление радиуса вписанной окружности
- Шаг 5: Использование площади треугольника
Как вычислить радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике
В каждый треугольник, независимо от его вида, можно вписать только одну окружность. Ее центр одновременно является и точкой пересечения биссектрис. У прямоугольного треугольника есть ряд своих собственных свойств, которые необходимо учитывать при вычислении радиуса вписанной окружности. Данные в задаче могут быть указаны разные и возникает необходимость провести дополнительные расчеты.
Инструкция по вычислению радиуса вписанной окружности
Вам понадобится:
- прямоугольный треугольник с заданными параметрами;
- карандаш;
- лист бумаги;
- линейка;
- циркуль.
Шаг 1: Построение треугольника
Начните с построения. Начертите треугольник с заданными размерами. Любой треугольник строится по трем сторонам, стороне и двум углам либо же двум сторонам и углу между ними. Поскольку размер одного угла задан изначально, то в условиях должны быть указаны либо два катета, либо один из катетов и один из углов, либо один катет и гипотенуза. Обозначьте треугольник как АСВ, где С — вершина прямого угла. Обозначьте противолежащие углам катеты как а и b, а гипотенузу — как с. Радиус вписанной окружности обозначьте как r.
Шаг 2: Вычисление сторон треугольника
Чтобы иметь возможность применить классическую формулу вычисления радиуса вписанной окружности, найдите все три стороны. Способ вычислений зависит от того, что задано в условиях. Если даны размеры всех трех сторон, вычислите полупериметр по формуле p=(a+b+c)/2. Если вам даны размеры двух катетов, найдите гипотенузу. Согласно теореме Пифагора, она равна квадратному корню из суммы квадратов катетов, то есть с=√a^2+b^2.
Шаг 3: Вычисление полупериметра
Когда дан один катет и угол, определите, является ли он противолежащим или прилежащим. В первом случае используйте теорему синусов, то есть найдите гипотенузу по формуле с=a/sin(САВ), во втором — считайте по теореме косинусов. В этом случае с=a/cos(CBA). Выполнив расчеты, найдите полупериметр треугольника.
Шаг 4: Вычисление радиуса вписанной окружности
Зная полупериметр, можно вычислить радиус вписанной окружности. Он равен квадратному корню из дроби, в числителе которой стоит произведение разностей этого полупериметра со всеми сторонами, а в знаменателе — полупериметр. То есть r=√(p-a)(p-b)(p-c)/p.
Шаг 5: Использование площади треугольника
Обратите внимание на то, что числитель данного подкоренного выражения представляет собой площадь данного треугольника. То есть радиус можно найти и другим путем, разделив площадь на полупериметр. Так что если известны оба катета, то вычисления несколько упрощаются. Необходимо для полупериметра гипотенузу найдите по сумме квадратов катетов. Площадь сосчитайте, умножив катеты друг на друга и разделив полученное число на 2.