Как найти тангенс, если известен косинус

Содержание:

1. Тангенс в тригонометрии: определение и связь с другими функциями
2. Выражение тангенса через синус
3. Геометрическое определение тангенса на единичной окружности
4. Вычисление тангенса на основе единичной окружности
5. Выражение тангенса через синус и косинус
6. Вычисление тангенса двойного и половинчатого угла
7. tg(x/2) = (1-cos(x))/sin(x) = (1-(1-sin^2(x))^0,5)/sin(x)
8. Выражение квадрата тангенса через синус
9. Области допустимых значений и полезные советы

Тангенс в тригонометрии: определение и связь с другими функциями

Тангенс - одна из основных тригонометрических функций, обозначаемая как tg(x). В отличие от синуса и косинуса, тангенс является периодической, но не непрерывной функцией. Он имеет разрывы в точках (+,-)Пи*n+Пи/2, где n - период функции. Тангенс может быть представлен через любую другую тригонометрическую функцию, так как все они тесно связаны между собой.

Выражение тангенса через синус

Чтобы выразить тангенс угла через синус, вспомним геометрическое определение тангенса. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Геометрическое определение тангенса на единичной окружности

Рассмотрим декартову систему координат с единичной окружностью радиусом R=1 и центром O в начале координат. Примем положительное направление поворота против часовой стрелки, а отрицательное - по часовой стрелке.

Вычисление тангенса на основе единичной окружности

Выберем точку M на окружности и опустим перпендикуляр из нее на ось Ox, обозначим его точкой N. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник OMN, угол ONM которого является прямым.

Рассмотрим острый угол MON. Используя определение синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике, получим MN= sin(MON)*OM и ON = cos(MON)*OM.

Выражение тангенса через синус и косинус

Вернувшись к геометрическому определению тангенса (tg(MON) = MN/ON), подставим полученные выше выражения. Тогда: tg(MON) = sin(MON)*OM/cos(MON)*OM. Сократив OM, получим tg(MON) = sin(MON)/cos(MON).

Вычисление тангенса двойного и половинчатого угла

Иногда возникает необходимость вычислить тангенс двойного или половинчатого угла. Существуют соотношения:

tg(x/2) = (1-cos(x))/sin(x) = (1-(1-sin^2(x))^0,5)/sin(x)

tg(2x) = 2*tg(x)/(1-tg^2(x)) = 2*sin(x)/(1-sin^2(x))^0,5/(1-sin(x)/(1-sin^2(x))^0,5)^2) == 2*sin(x)/(1-sin^2(x))^0,5/(1-sin^2(x)/(1-sin^2(x)).

Выражение квадрата тангенса через синус

Квадрат тангенса может быть выражен через двойной угол косинуса или синуса: tg^2(x) = (1-cos(2x))/(1+cos(2x)) = (1-1+2*sin^2(x))/(1+1-2*sin^2(x)) = (sin^2(x))/(1-sin^2(x)).

Области допустимых значений и полезные советы

При решении уравнений и неравенств, необходимо обратить внимание на области допустимых значений. Знание основных тождеств тригонометрии позволяет быстро переходить от одной тригонометрической функции к другой.