Как найти уравнение касательной к графику функции
- Как найти уравнение касательной к графику функции
- Определение касательной
- Определение углового коэффициента касательной
- Уравнение касательной
- Пример
Как найти уравнение касательной к графику функции
Эта инструкция содержит ответ на вопрос, как найти уравнение касательной к графику функции. Приведена исчерпывающая справочная информация. Применение теоретических выкладок разобрано на конкретном примере.
Определение касательной
Для начала дадим определение касательной. Касательной к кривой в данной точке М называется предельное положение секущей NM, когда точка N приближается вдоль кривой к точке М.
Определение углового коэффициента касательной
Кривая, представляющая собой график функции y = f(x), непрерывна в некоторой окрестности точки М (включая саму точку М). Проведем секущую MN1, образующую с положительным направлением оси Ox угол α. Из полученного треугольника MN1N можно найти угловой коэффициент этой секущей: tg α = Δy/Δx. При стремлении точки N1 по кривой к точке M секущая MN1 поворачивается вокруг точки M, причем угол α стремится к углу ϕ между касательной MT и положительным направлением оси Ox. k = tg ϕ = 〖lim〗┬(∆x→0)〖Δy/Δx = f`(x)〗. Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания.
Уравнение касательной
Уравнение касательной к заданной кривой в заданной точке М имеет вид: y - y0 = f`(x0) (x - x0), где (x0; y0) – координаты точки касания, (x; y) – текущие координаты, т.е. координаты любой точки, принадлежащей касательной, f`(x0) = k = tg α – угловой коэффициент касательной.
Пример
Дан график функции y = x^2 - 2x. Нужно найти уравнение касательной в точке с абсциссой x0 = 3. Из уравнения данной кривой находим ординату точки касания y0 = 3^2 - 2∙3 = 3. Находим производную, а затем вычисляем ее значение в точке x0 = 3. Имеем: y` = 2x - 2. Теперь, зная точку (3; 3) на кривой и угловой коэффициент f`(3) = 4 касательной в этой точке, получаем искомое уравнение: y - 3 = 4 (x - 3) или y - 4x + 9 = 0.