Эврика!

Как найти уравнение касательной к графику функции

Содержание

  1. Инструкция

Как найти уравнение касательной к графику функции

Эта инструкция содержит ответ на вопрос, как найти уравнение касательной к графику функции. Приведена исчерпывающая справочная информация. Применение теоретических выкладок разобрано на конкретном примере.

Инструкция

  • Справочный материал.
    Для начала дадим определение касательной. Касательной к кривой в данной точке М называется предельное положение секущей NM, когда точка N приближается вдоль кривой к точке М.Найдем уравнение касательной к графику функции y = f(x).
  • Определяем угловой коэффициент касательной к кривой в точке М.
    Кривая, представляющая собой график функции y = f(x), непрерывна в некоторой окрестности точки М (включая саму точку М).Проведем секущую MN1, образующую с положительным направлением оси Ox угол α.
    Координаты точки М (x; y), координаты точки N1(x+∆x; y+∆y). Из полученного треугольника MN1N можно найти угловой коэффициент этой секущей: tg α = Δy/ΔxMN = ∆x
    NN1 = ∆yПри стремлении точки N1 по кривой к точке M секущая MN1 поворачивается вокруг точки M, причем угол α стремится к углу ϕ между касательной MT и положительным направлением оси Ox.

    k = tg ϕ =〖 lim〗┬(∆x→0)⁡〖 〗 Δy/Δx = f`(x)Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания. В этом заключается геометрический смысл производной.
  • Уравнение касательной к заданной кривой в заданной точке М имеет вид:

    y - y0 = f`(x0) (x - x0),
    где (x0; y0) – координаты точки касания,
    (x; y) – текущие координаты, т.е. координаты любой точки, принадлежащей касательной,
    f`(x0) = k = tg α – угловой коэффициент касательной.
  • Найдем уравнение касательной на примере.Дан график функции y=x2 – 2x. Нужно найти уравнение касательной в точке с абсциссой x0 = 3.Из уравнения данной кривой находим ординату точки касания y0 = 32 - 2∙3 = 3.Находим производную, а затем вычисляем ее значение в точке x0 = 3.
    Имеем:
    y`=2x – 2
    f`(3) = 2∙3 – 2 = 4.Теперь, зная точку (3; 3) на кривой и угловой коэффициент f`(3) = 4 касательной в этой точке, получаем искомое уравнение:
    y – 3 = 4 (x – 3)
    или
    y – 4x + 9 = 0

Как возводить в минусовую степень
Как возводить в минусовую степень
Что такое президентско-парламентская республика
Что такое президентско-парламентская республика
Как перевести в кубические метры
Как перевести в кубические метры
Как делить матрицы
Как делить матрицы
Откуда берутся морозные узоры на окнах
Откуда берутся морозные узоры на окнах
Как перевести дюйм в см
Как перевести дюйм в см

© CompleteRepair.Ru