Эврика!

Как найти уравнение касательной к графику функции

Содержание

  1. Инструкция

Как найти уравнение касательной к графику функции

Эта инструкция содержит ответ на вопрос, как найти уравнение касательной к графику функции. Приведена исчерпывающая справочная информация. Применение теоретических выкладок разобрано на конкретном примере.

Инструкция

  • Справочный материал.
    Для начала дадим определение касательной. Касательной к кривой в данной точке М называется предельное положение секущей NM, когда точка N приближается вдоль кривой к точке М.Найдем уравнение касательной к графику функции y = f(x).
  • Определяем угловой коэффициент касательной к кривой в точке М.
    Кривая, представляющая собой график функции y = f(x), непрерывна в некоторой окрестности точки М (включая саму точку М).Проведем секущую MN1, образующую с положительным направлением оси Ox угол α.
    Координаты точки М (x; y), координаты точки N1(x+∆x; y+∆y). Из полученного треугольника MN1N можно найти угловой коэффициент этой секущей: tg α = Δy/ΔxMN = ∆x
    NN1 = ∆yПри стремлении точки N1 по кривой к точке M секущая MN1 поворачивается вокруг точки M, причем угол α стремится к углу ϕ между касательной MT и положительным направлением оси Ox.

    k = tg ϕ =〖 lim〗┬(∆x→0)⁡〖 〗 Δy/Δx = f`(x)Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания. В этом заключается геометрический смысл производной.
  • Уравнение касательной к заданной кривой в заданной точке М имеет вид:

    y - y0 = f`(x0) (x - x0),
    где (x0; y0) – координаты точки касания,
    (x; y) – текущие координаты, т.е. координаты любой точки, принадлежащей касательной,
    f`(x0) = k = tg α – угловой коэффициент касательной.
  • Найдем уравнение касательной на примере.Дан график функции y=x2 – 2x. Нужно найти уравнение касательной в точке с абсциссой x0 = 3.Из уравнения данной кривой находим ординату точки касания y0 = 32 - 2∙3 = 3.Находим производную, а затем вычисляем ее значение в точке x0 = 3.
    Имеем:
    y`=2x – 2
    f`(3) = 2∙3 – 2 = 4.Теперь, зная точку (3; 3) на кривой и угловой коэффициент f`(3) = 4 касательной в этой точке, получаем искомое уравнение:
    y – 3 = 4 (x – 3)
    или
    y – 4x + 9 = 0

Как найти наименьший положительный период функции
Как найти наименьший положительный период функции
Какие ядовитые птицы существуют
Какие ядовитые птицы существуют
Как возникла этика
Как возникла этика
Почему вымерли мамонты
Почему вымерли мамонты
Как проверить пунктуацию
Как проверить пунктуацию
Как вычислить массовую долю
Как вычислить массовую долю

© CompleteRepair.Ru