Как найти уравнение перпендикулярной прямой
- Задание прямой в декартовой системе координат
- Каноническое уравнение прямой
- Угол между прямыми
- Параметры для прямых на плоскости
- Общее уравнение прямой
- Угол между прямыми в общем уравнении
- Перпендикулярность прямых на плоскости
- Полезный совет
Задание прямой в декартовой системе координат
В декартовой системе координат любая прямая может быть задана линейным уравнением. Существуют различные способы задания прямой: общий, канонический и параметрический, при которых выполняются различные условия перпендикулярности.
Каноническое уравнение прямой
Пусть у нас имеются две прямые в пространстве, заданные каноническими уравнениями:
(x-x1)/q1 = (y-y1)/w1 = (z-z1)/e1;
(x-x2)/q2 = (y-y2)/w2 = (z-z2)/e2.
В знаменателях уравнений присутствуют числа q, w и e, которые являются координатами направляющих векторов этих прямых. Направляющим вектором называется ненулевой вектор, который лежит на прямой или параллелен ей.
Угол между прямыми
Косинус угла между прямыми имеет формулу:
cosλ = ± (q1·q2 + w1·w2 + e1·e2) / √ [(q1)² + (w1)² + (e1)²] · [(q2)² + (w2)² + (e2)²].
Прямые, заданные каноническими уравнениями, являются взаимно перпендикулярными, когда их направляющие векторы ортогональны. Это означает, что угол между прямыми (или угол между направляющими векторами) равен 90°, а косинус угла равен нулю. В координатах это записывается как: q1·q2 + w1·w2 + e1·e2 = 0.
Параметры для прямых на плоскости
Для прямых на плоскости условие перпендикулярности задается упрощенной формулой: q1·q2 + w1·w2 = 0, так как третья координата отсутствует.
Общее уравнение прямой
Пусть теперь прямые заданы общими уравнениями:
J1 · x + K1 · y + L1 · z = 0;
J2 · x + K2 · y + L2 · z = 0.
Здесь коэффициенты J, K, L представляют собой координаты нормальных векторов. Нормальный вектор - это единичный вектор, перпендикулярный к прямой.
Угол между прямыми в общем уравнении
Косинус угла между прямыми в общем уравнении записывается следующим образом:
cosλ = (J1·J2 + K1·K2 + L1·L2) / √ [(J1)² + (K1)² + (L1)²] · [(J2)² + (K2)² + (L2)²].
Прямые взаимно перпендикулярны, когда нормальные векторы ортогональны. В векторной форме это условие выглядит как: J1·J2 + K1·K2 + L1·L2 = 0.
Перпендикулярность прямых на плоскости
Для прямых на плоскости, заданных общими уравнениями, они будут перпендикулярными, когда J1·J2 + K1·K2 = 0.
Полезный совет
Имея уравнение некоторой прямой, можно найти уравнение прямой, которая перпендикулярна ей, используя описанные выше свойства.
