Эврика!

Как найти вторую производную функции

Содержание

  1. Инструкция

Как найти вторую производную функции

Дифференциальные исчисления – раздел математического анализа, который изучает производные первого и высших порядков как один из методов исследования функций. Вторая производная некоторой функции получается из первой повторным дифференцированием.

Инструкция

  • Производная некоторой функции в каждой точке имеет определенное значение. Таким образом, при ее дифференцировании получается новая функция, которая также может быть дифференцируема. В этом случае ее производная называется второй производной исходной функции и обозначается F’’(x).
  • Первой производной называется предел приращения функции к приращению аргумента, т.е.:F’(x) = lim (F(x) – F(x_0))/(x – x_0) при x → 0.Второй производной исходной функции является производная функции F’(x) в той же точке x_0, а именно:F’’ (x) = lim (F’(x) – F’(x_0))/(x – x_0).
  • Для нахождения вторых производных сложных функций, которые трудно определить обычным способом, применяют методы численного дифференцирования. При этом для расчета используют приближенные формулы:F’’(x) = (F(x + h) – 2*F(x) + F(x - h))/h^2 + α(h^2)F’’(x) = (-F(x + 2*h) + 16*F(x + h) – 30*F(x) + 16*F(x - h) – F(x – 2*h))/(12*h^2) + α(h^2).
  • Основа методов численного дифференцирования – аппроксимация интерполяционным многочленом. Приведенные формулы получаются в результате двойного дифференцирования интерполяционных многочленов Ньютона и Стирлинга.
  • Параметр h является шагом аппроксимации, принятым для расчетов, а α(h^2) – это погрешность аппроксимации. Аналогично α(h) для первой производной эта бесконечно малая величина обратно пропорциональна h^2. Соответственно, она тем больше, чем меньше длина шага. Поэтому для минимизации погрешности важно выбрать самое оптимальное значение h.Выбор оптимального значения h называется регуляризацией по шагу. При этом полагают, что есть такое значение h, что верно:|F(x + h) – F(x)| > ε, где ε – некоторая малая величина.
  • Существует другой алгоритм минимизации погрешности аппроксимации. Он состоит в выборе нескольких точек области значений функции F вблизи начальной точки x_0. Затем вычисляются значения функции в этих точках, по которым строится линия регрессии, которая является сглаживающей для F на малом интервале.
  • Полученные значения функции F представляют собой частичную сумму ряда Тейлора:G(x) = F(x) + R, где G(x) – сглаженная функция с погрешностью аппроксимации R. После двукратного дифференцирования получим:G’’(x) = F’’(x) + R’’, откуда R’’ = G’’(x) – F’’(x).Величина R’’ как отклонение приближенного значения функции от ее истинного значения и будет минимальной погрешностью аппроксимации.

Как делают зеркало
Как делают зеркало
Как посчитать емкость рынка
Как посчитать емкость рынка
Что такое прокрустово ложе
Что такое прокрустово ложе
Из чего состоит воздух
Из чего состоит воздух
Как отличить золото
Как отличить золото
Как найти вектор нормали
Как найти вектор нормали

© CompleteRepair.Ru