Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек
- Высоты в треугольнике: определение и вычисление
- Вычисление длин сторон треугольника
- Вычисление площади треугольника
- Вычисление высот треугольника
Высоты в треугольнике: определение и вычисление
Высотой в треугольнике называется отрезок прямой линии, соединяющий вершину фигуры с противолежащей стороной. Он должен быть перпендикулярен стороне, поэтому из каждой вершины можно провести только одну высоту. Количество высот в треугольнике равно его количеству вершин - три.
Вычисление длин сторон треугольника
Для нахождения длин высот в треугольнике, заданного координатами его вершин, необходимо сначала вычислить длины его сторон. Обозначим координаты вершин треугольника как A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃). Длину стороны AB можно вычислить по формуле AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Аналогичным образом, длины сторон BC и AC вычисляются по формулам BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) и AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).
Например, для треугольника с координатами A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) длина стороны AB составит √((3-16)² + (5-14)² + (7-19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Длины сторон BC и AC, рассчитанные таким же способом, будут равны √(15² + 12² + 6²) ≈ 20,12 и √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.
Вычисление площади треугольника
Для вычисления площади треугольника необходимо знать длины его сторон. Площадь треугольника (S) можно вычислить по формуле Герона: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)).
Например, для треугольника с предыдущими вычисленными длинами сторон AB ≈ 19,85, BC ≈ 20,12 и AC = 7, площадь треугольника будет равна S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12) * (19,85+20,12-7)) ≈ ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815.
Вычисление высот треугольника
Исходя из рассчитанной площади треугольника и длин его сторон, высоты к каждой из сторон могут быть вычислены. Поскольку площадь равна половине произведения высоты на длину стороны, для нахождения высоты нужно поделить удвоенную площадь на длину соответствующей стороны: H = 2*S/a.
Например, для треугольника с предыдущими вычисленными значениями площади S ≈ 68,815 и длиной стороны AB ≈ 19,85, высота, опущенная на сторону AB, составит 2*68,815/19,85 ≈ 8,55. Аналогично, высота к стороне ВС будет иметь длину 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, а для стороны АС эта величина будет равна 2*68,815/7 ≈ 19,66.