Главная Войти О сайте

Как найти высоту в прямоугольном треугольнике

Как найти высоту в прямоугольном треугольнике

Содержание:
  1. Прямоугольный треугольник и его высоты
  2. Инструкция по нахождению третьей высоты

Прямоугольный треугольник и его высоты

Прямоугольный треугольник является треугольником, у которого один из углов равен 90°. Катеты прямоугольного треугольника являются его высотами. Однако, существует еще третья высота, которая опускается из вершины прямого угла к гипотенузе. В данной статье мы рассмотрим, как найти эту третью высоту.

Инструкция по нахождению третьей высоты

Для нахождения третьей высоты прямоугольного треугольника, мы будем использовать следующие инструменты: чистый лист бумаги, карандаш, линейка и учебник по геометрии.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где ∠ABC = 90°. Опустим из этого угла высоту h на гипотенузу AC, и обозначим точку пересечения высоты с гипотенузой как D.

2. Треугольник ADB подобен треугольнику ABC по двум углам: ∠ABC = ∠ADB = 90°, а ∠BAD является общим углом. Из этого подобия получаем соотношение сторон: AD/AB = BD/BC = AB/AC. Взяв первое и последнее соотношение пропорции, мы получаем, что AD = AB²/AC.

3. Поскольку треугольник ADB также является прямоугольным, для него справедлива теорема Пифагора: AB² = AD² + BD². Подставляя значение AD в это равенство, получаем, что BD² = AB² - (AB²/AC)². Или, можно записать это равенство как BD² = AB²(AC²-AB²)/AC². Учитывая, что треугольник ABC является прямоугольным, AC² - AB² = BC², итак мы получаем BD² = AB²BC²/AC². Извлекая корень из обеих частей равенства, мы получаем, что BD = AB*BC/AC.

4. С другой стороны, треугольник BDC также подобен треугольнику ABC по двум углам: ∠ABC = ∠BDC = 90°, а ∠DCB является общим углом. Из этого подобия мы получаем соотношение сторон: BD/AB = DC/BC = BC/AC. Используя это соотношение, мы можем выразить DC через стороны исходного прямоугольного треугольника. Рассматривая второе равенство в этой пропорции, мы получаем, что DC = BC²/AC.

5. Из соотношения, полученного на шаге 2, имеем, что AB² = AD*AC. Из шага 4 имеем, что BC² = DC*AC. Тогда BD² = (AB*BC/AC)² = AD*AC*DC*AC/AC² = AD*DC. Таким образом, высота BD равна корню из произведения AD и DC или, как говорят, среднему геометрическому частей, на которые эта высота разбивает гипотенузу треугольника.

Обратите внимание: Если высота проведена из вершины с прямым углом к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, которые являются подобными исходному треугольнику и друг другу.

Полезный совет: В прямоугольном треугольнике оба катета выступают в роли непосредственно самих высот.


CompleteRepair.Ru