Как определить предел
- Предел в математической теории
- Предел функции
- Определение ПФ по Коши и Гейне
- Основные теоремы о пределе функции
- Определение ПФ с использованием нескольких основных теорем:
- Значение предела функции при бесконечно большом аргументе
Предел в математической теории
Предел в математической теории имеет несколько значений. Так, предел последовательности обозначает элемент пространства, обладающий свойством привлекать к себе другие составляющие этой последовательности. Особенность последовательности либо иметь, либо не иметь предельное значение называется сходимостью.
Предел функции
Предел функции (ПФ) в определенной точке, являющейся предельной для области определения данной конкретной функции обозначает величину, к коей она стремится при условии стремления ее аргумента (Х) к этой точке. Это наиболее часто используемое в теории математики понятие, которое обобщает понятие предела последовательности, потому что в ходе формирования понятий ПФ называли предел последовательности составляющих области значений определенной функции, состоящей из образов точек ряда элементов области ее определения, которые сходились к определенной точке. ПФ имеют различные варианты определения, основными из которых являются определения Коши и Гейне.
Определение ПФ по Коши и Гейне
Вариант Коши: число L будет равно ПФ, для определенной функции F на интервале с точкой X, равной точке (т.) А , при Х стремящемся к А, если для каждого Е>0 есть D>0. При этому будут соблюдаться неравенства | f (x) - L|
Вариант определения ПФ по Гейне выражается так: F будет иметь предельное число L в определенной т. X, равной т. А, если для всех последовательностей, которые сходятся в точке А, последовательности будут сходиться к L. Эти определения не противоречат друг другу и являются эквивалентными.
Основные теоремы о пределе функции
Определение ПФ с использованием нескольких основных теорем:
- Предельное значение суммы 2 функций, если Х стремится к А, будет равен сумме их предельных значений.
- Предел произведения 2 функций, если Х стремится к А, будет соответствовать произведению их предельных значений.
- Предел частного 2 функций, если Х стремится к А, будет равен частному их предельных значений, в том случае, если предел знаменателя в формуле не равен нулю.
- Все элементарные функции являются непрерывными в точке, для которой они определены.
- Предел определенной постоянной величины является самой постоянной величиной.
Значение предела функции при бесконечно большом аргументе
ПФ, являющийся одним из основополагающих понятий математического анализа, показывает изменение значения конкретной функции при бесконечно большом значении аргумента.
