Как определить сходимость ряда
- Определение числового ряда
- Признак Коши сходимости ряда
- Примеры применения признака Коши
- Признак Даламбера для сходимости ряда
- Примеры применения признака Даламбера
- Признак Лейбница для знакочередующегося ряда
- Пример применения признака Лейбница
Определение числового ряда
Числовым рядом называется бесконечная последовательность, которая представляет собой сумму всех ее членов.
Признак Коши сходимости ряда
Для определения сходимости числового ряда можно использовать признак Коши. Для этого необходимо вычислить предел вида ((xn)^(1/n)), где xn - общий член ряда, а n стремится к бесконечности. Если предел существует и меньше 1, то ряд сходится, если больше 1, то ряд расходится, а если равен 1, то требуется дополнительное исследование ряда.
Примеры применения признака Коши
Например, рассмотрим ряд 1/2+1/4+1/8+…, где общий член ряда представлен формулой 1/(2^n). Вычислим предел ((1/(2^n))^(1/n)) при n стремящимся к бесконечности. Получаем предел равный 1/2. Так как предел меньше 1, то данный ряд сходится.
Возьмем другой пример ряда 1+16/9+216/64+…, где общий член ряда представлен формулой (2×n/(n+1))^n. Вычислим предел (((2×n/(n+1))^n)^(1/n)) при n стремящимся к бесконечности. Получаем предел равный 2. Так как предел больше 1, то данный ряд расходится.
Признак Даламбера для сходимости ряда
Для определения сходимости числового ряда можно использовать признак Даламбера. Для этого необходимо вычислить предел вида ((xn+1)/xn), где xn - общий член ряда, а n стремится к бесконечности. Если предел существует и меньше 1, то ряд сходится, если больше 1, то ряд расходится, а если равен 1, то ряд может как сходиться, так и расходиться.
Примеры применения признака Даламбера
Рассмотрим ряд Σ(2^n/n!). Вычислим предел ((2^(n+1)/(n+1)!)×(n!/2^n)) при n стремящимся к бесконечности. Получаем предел равный 0. Так как предел меньше 1, то данный ряд является сходящимся.
Теперь рассмотрим ряд Σn!×(6/n)^n. Вычислим предел ((n+1)!×6^(n+1)×n^n)/((n+1)^(n+1)×n!×6^n) при n стремящимся к бесконечности. Получаем предел равный 6/e. Так как предел больше 1, то данный ряд расходится.
Признак Лейбница для знакочередующегося ряда
Для определения сходимости знакочередующегося ряда можно использовать признак Лейбница. Для этого необходимо вычислить предел xn при n стремится к бесконечности. Если предел равен 0, то ряд сходится, а его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.
Пример применения признака Лейбница
Рассмотрим ряд 1−1/2+1/3−1/4+…. Общий член ряда будет 1/n. Вычислим предел (1/n) при n стремящимся к бесконечности. Получаем предел равный 0. Так как предел равен 0, то данный ряд сходится.