Как определить тип кривой второго порядка
- Как определить вид кривой второго порядка
- Приведение к уравнению в каноническом виде
- Эллипс, гипербола и парабола
- Полярные координаты и эксцентриситет
- Классификация кривых второго порядка
Как определить вид кривой второго порядка
Вопрос о выяснении вида кривой второго порядка является скорее качественной, чем количественной задачей. Для решения этой задачи необходимо преобразовать общее уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Искомых кривых всего три: эллипс, гипербола и парабола.
Приведение к уравнению в каноническом виде
Процедура приведения к каноническому виду может быть громоздкой, поэтому ее следует избегать. Вместо этого можно воспользоваться общими полярными уравнениями кривых второго порядка. Таким образом, получаем список кривых второго порядка, который можно расширять неограниченно.
Эллипс, гипербола и парабола
Для определения вида кривой второго порядка сравниваем общее уравнение с каноническими уравнениями. Если коэффициенты A≠0, С≠0 и их знак одинаков, то получаем эллипс. Если знаки различны, то говорим о гиперболе. Парабола соответствует ситуации, когда либо А, либо С равны нулю.
Полярные координаты и эксцентриситет
Еще один способ определения вида кривой второго порядка - использование полярных координат. Вводим полярные координаты, используя фокус как полярный центр. Таким образом, получаем полярные уравнения для эллипса и параболы. Величина ε в этих уравнениях называется эксцентриситетом.
Классификация кривых второго порядка
Из формул следует, что эксцентриситет связан со всеми главными кривыми второго порядка. Именно на основе значения эксцентриситета можно принять основные решения: если ε<1, то это гипербола, если ε=1, то парабола. Эта классификация также используется при изучении дифференциальных уравнений с частными производными.