Как по графику производной построить график функции
- Как использовать график производной для анализа функции
- Прямая производная
- Уравнение производной
- Формула функции
- Показательная функция и гипербола
Как использовать график производной для анализа функции
При изучении функций и их производных, график производной может дать нам много информации о поведении первообразной. В этой статье мы рассмотрим несколько методов использования графика производной для анализа функций.
Прямая производная
Если график производной представляет собой прямую, параллельную оси ОХ, то уравнение производной можно записать в виде Y' = k. В этом случае искомая функция будет иметь вид Y = k*x. Если график производной проходит под некоторым углом к числовым осям, то график функции будет представлять собой параболу. Если график производной похож на гиперболу, то можно предположить, что первообразная является функцией натурального логарифма. И, наконец, если график производной представляет собой синусоиду, то функция будет косинусом аргумента.
Уравнение производной
Если график производной представляет собой прямую, то уравнение производной можно записать в общем виде Y' = k*x+b. Для определения коэффициента k проведите параллельную графику прямую через начало координат и снимите координаты х и у произвольной точки. Затем вычислите k = y/x, учитывая направление графика производной. Значение свободного члена b равно значению Y' при х=0.
Формула функции
Одним из методов определения формулы функции является составление уравнения производной вида Y = k/2 * x² + bx + c. Однако, значение свободного члена c нельзя найти по графику производной, и положение графика функции вдоль оси Y не фиксируется. Используя полученное уравнение, постройте график функции и определите направление ветвей параболы в зависимости от знака коэффициента k.
Показательная функция и гипербола
Для показательной функции график производной совпадает с графиком самой функции, поскольку при дифференцировании показательная функция не меняется. Контрольная точка графика имеет координаты (0, 1). Если график производной представляет собой гиперболу с ветвями в первой и третьей четвертях координатной оси, то уравнение производной можно записать как Y' = 1/х. Следовательно, первообразная будет являться функцией натурального логарифма. Контрольные точки при построении графика функции имеют координаты (1, 0) и (е, 1).