Главная Войти О сайте

Как построить график заданной функции

Как построить график заданной функции

Содержание:
  1. Исследование функций и построение их графиков
  2. Определение области определения и области значений функции
  3. Определение четности функции
  4. Точки пересечения графика функции с осями координат
  5. Нахождение экстремумов функции
  6. Построение графика функции

Исследование функций и построение их графиков

Построение графика функции Y=f(X) требует проведения исследования данного выражения. В большинстве случаев мы строим эскиз графика, т.е. некоторый фрагмент. Границы этого фрагмента определяются предельными значениями аргумента Х или самого выражения f(X), которые можно отобразить на бумаге, экране и т.д.

Определение области определения и области значений функции

Прежде всего, необходимо определить область определения функции, т.е. значения Х, при которых выражение f(X) имеет значение. Например, для функции y=x^2, график которой изображен на рис.1, областью определения является вся прямая OX. Аналогично, областью определения функции y=sin(x) является вся ось абсцисс (рис.1, снизу).

Затем определяется область значений функции, т.е. значения Y, которые могут принимать функция при значениях Х, принадлежащих области определения. Для функции y=x^2, значение выражения y=x^2 не может быть отрицательным, поэтому областью значений является множество неотрицательных чисел от 0 до бесконечности. А для функции y=sin(x), областью значений является отрезок оси OY от -1 до +1, так как синус любого угла не может быть больше 1.

Определение четности функции

Чтобы определить четность функции, необходимо проверить, выполняются ли условия f(x) = f(-x) или f(-x) = -f(x). В нашем случае, функция y=x^2 является четной, а функция y=sin(x) - нечетной. Поэтому исследование этих функций проводится только при положительных или отрицательных значениях аргумента. Линейная функция y=a*x+b не обладает свойствами четности, поэтому ее исследование требуется на всей области определения.

Точки пересечения графика функции с осями координат

Следующим шагом является нахождение точек пересечения графика функции с осями координат. Ось ординат (ОY) пересекается при Х=0, т.е. нам нужно найти f(0). В нашем случае f(0)=0 - графики обеих функций пересекают ось ординат в точке (0;0).

Для нахождения точек пересечения графика с осью абсцисс (нулей функции), необходимо решить уравнение f(X)=0. В первом случае это простое квадратное уравнение x^2=0, откуда Х=0. Таким образом, ось ОХ также пересекается один раз в точке (0;0). В случае функции y=sin(x), ось абсцисс пересекается бесконечное число раз с шагом Пи (рис.1, снизу). Этот шаг называется периодом функции, т.е. функция является периодической.

Нахождение экстремумов функции

Для нахождения экстремумов (минимальных и максимальных значений) функции, можно вычислить ее производную. В точках, где значение производной равно 0, исходная функция принимает экстремальное значение. В нашем примере, производная функции y=x^2 равна 2х, поэтому в точке (0;0) имеется единственный минимум. Функция y=sin(x) имеет бесконечное число экстремумов, так как ее производная y=cos(x) также является периодической с периодом Пи.

Построение графика функции

После проведения достаточного исследования функции, можно найти значения функции при других значениях аргумента для получения дополнительных точек, через которые проходит ее график. Затем все найденные точки можно объединить в таблицу, которая будет служить основой для построения графика.

Для функции y=x^2 мы можем определить следующие точки: (0;0) - ноль функции и минимум, (1;1), (-1;1), (2;4), (-2;4). Для функции y=sin(x) достаточно знать ее нули - (0;0), (Пи+n*Пи,0), максимумы - (Пи/2+2*n*Пи; 1) и минимумы - (-Пи/2+2*n*Пи; -1), где n - целое число.


CompleteRepair.Ru