Как рассчитать коэффициент корреляции

Содержание:

1. Коэффициент корреляции и его смысл
2. Определение корреляционного момента ССВ
3. Свойства корреляционного момента
4. Значение коэффициента корреляции
5. Расчет коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции и его смысл

По определению, коэффициентом корреляции (нормированным корреляционным моментом) называется отношение корреляционного момента системы двух случайных величин (ССВ) к его максимальному значению. Для того чтобы разобраться в сути этого вопроса, необходимо, прежде всего, познакомиться с понятием корреляционного момента.

Определение корреляционного момента ССВ

Корреляционным моментом ССВ X и Y называется смешанный центральный момент второго порядка. Корреляционный момент является характеристикой взаимного разброса значений ССВ относительно точки средних значений и степени линейной связи между СВ Х и Y.

Свойства корреляционного момента

1. R(xy)=R(yx) – из определения.
2. Rxx=Dx (дисперсии) - из определения.
3. Для независимых Х и Y R(xy)=0.
4. При наличии «жесткой линейной связи между X и Y, Y=aX+b – |R(xy)|=бxбy=max.
5. –бxбy≤R(xy)≤бxбy.

Значение коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции r(xy) показывает линейную связь между СВ. Его значение изменяется от -1 до 1, кроме того он не обладает размерностью. Для пояснения смысла нормированного корреляционного момента, представьте себе, что полученные опытным путем значения СВ Х и Y являются координатами точки на плоскости. При наличии «жесткой» линейной связи эти точки в точности лягут на прямую линию Y=aX+b. При r(xy)=0 все полученные точки окажутся внутри эллипса с центром в (mx, my), величина полуосей которого определяется значениями дисперсий СВ.

Расчет коэффициента корреляции

Для расчета коэффициента корреляции можно использовать выборочные значения СВ, полученные в опыте. Оценки нужных величин могут быть получены с использованием следующих формул:
- Оценка среднего значения СВ: mx*=(1/n)(x1+x2+…+xn) (для СВ Y аналогично).
- Оценка дисперсии СВ: Dx*=(1/(n-1))((x1- mx*)^2+ (x2- mx*)^2+…+(xn- mx*)^2).
- Оценка корреляционного момента: R*x=(1/(n-1))((x1- mx*)(y1- my*)+(x2- mx*)(y2- my*)+…+(xn- mx*)(yn- my*)).
- Оценка стандартного отклонения: бx*=sqrtDx (то же для СВ Y).

Теперь можно смело для оценок использовать формулу R(xy)= R(xy)/бxбy для расчета коэффициента корреляции.