Как решать дифференциальные линейные уравнения
- Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка
- Однородные и неоднородные уравнения
- Решение линейного однородного уравнения
- Решение линейного неоднородного уравнения
- Упрощение исходного уравнения
- Полное решение линейного неоднородного уравнения
- Частное решение и полное решение
- Итоговое решение
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение, в которое неизвестная функция и ее производная входят линейно, то есть в первой степени, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка
Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка таков: y′ + p(x)*y = f(x), где y — неизвестная функция, а p(x) и f(x) — некоторые заданные функции. Они считаются непрерывными в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение. В частности, они могут быть и константами.
Однородные и неоднородные уравнения
Если f(x) ≡ 0, то уравнение называют однородным; если нет — то, соответственно, неоднородным.
Решение линейного однородного уравнения
Линейное однородное уравнение может быть решено методом разделения переменных. Его общий вид: y′ + p(x)*y = 0. Следовательно, dy/dx = -p(x)*y, откуда следует, что dy/y = -p(x)dx. Интегрируя обе части получившегося равенства, получаем: ∫(dy/y) = - ∫p(x)dx, то есть ln(y) = - ∫p(x)dx + ln(C) или y = C*e^(- ∫p(x)dx)).
Решение линейного неоднородного уравнения
Решение неоднородного линейного уравнения можно вывести из решения соответствующего однородного, то есть того же самого уравнения с отброшенной правой частью f(x). Для этого нужно заменить константу C в решении однородного уравнения неизвестной функцией φ(x). Тогда решение неоднородного уравнения будет представлено в виде: y = φ(x)*e^(-∫p(x)dx).
Упрощение исходного уравнения
Дифференцируя решение неоднородного уравнения, получим, что производная от y равна: y′ = φ′(x)*e^(- ∫p(x)dx) - φ(x)*p(x)* e^(- ∫p(x)dx). Подставив найденные выражения для y и y′ в исходное уравнение и упростив полученное, легко прийти к результату: dφ/dx = f(x)*e^( ∫p(x)dx).
Полное решение линейного неоднородного уравнения
После интегрирования обеих частей равенства, оно получает вид: φ(x) = ∫(f(x)*e^(∫p(x)dx))dx + C1. Таким образом, искомая функция y выразится в виде: y = e^(- ∫p(x)dx)*(C + ∫f(x)*e^(∫p(x)dx))dx).
Частное решение и полное решение
Если приравнять постоянную C нулю, то из выражения для y можно получить частное решение заданного уравнения: y1 = (e^(- ∫p(x)dx))*(∫f(x)*e^(∫p(x)dx))dx. Тогда полное решение можно будет выразить в виде: y = y1 + C*e^(- ∫p(x)dx)).
Итоговое решение
Иными словами, полное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка равно сумме его частного решения и общего решения соответствующего однородного линейного уравнения первого порядка.
