Как решать многочлены
- Упрощение многочлена
- Разложение на множители
- Разложение при помощи формул сокращенного умножения
- Разложение при помощи неопределенных коэффициентов
Упрощение многочлена
Многочлен представляет собой алгебраическую сумму произведений чисел, переменных и их степеней. Для упрощения многочлена необходимо привести подобные слагаемые. Одночлены с одинаковой буквенной частью складываются, и полученное выражение записывается в упрощенной форме.
Например, если дано выражение: 12ax²–y³–6ax²+3a²x–5ax²+2y³, то для упрощения необходимо найти одночлены с одинаковой буквенной частью и сложить их. В данном случае, после сложения подобных слагаемых получим выражение: ax²+3a²x+y³.
Разложение на множители
Разложение многочлена на множители может быть выполнено двумя способами. Первый способ - определить общий множитель данного выражения. Для этого необходимо вынести за скобки переменные, которые входят в состав всех членов выражения и имеют наименьший показатель. Затем вычислить наибольший общий делитель каждого из коэффициентов многочлена. Модуль полученного числа будет коэффициентом общего множителя.
Например, для разложения многочлена 5m³–10m²n²+5m² на множители, необходимо вынести за скобки m² (поскольку переменная m входит в каждый член выражения и имеет наименьший показатель). Коэффициент общего множителя равен пяти. Таким образом, общий множитель данного выражения равен 5m², и мы можем записать его в виде 5m²(m–2n²+1).
Если выражение не имеет общего множителя, можно попробовать разложить его методом группировки. Для этого необходимо объединить в группы члены с общими множителями и вынести общий множитель каждой группы за скобки. Затем вынести за скобки общий множитель у всех образовавшихся групп.
Например, для разложения многочлена a³–3a²+4a–12 на множители, можно произвести группировку следующим образом: (a³–3a²)+(4a–12). Затем вынести за скобку общий множитель a² в первой группе и общий множитель 4 во второй группе. Получим: a²(a–3)+4(a–3). Вынесем за скобки многочлен a–3, и получим итоговое разложение: (a–3)(a²+4).
Разложение при помощи формул сокращенного умножения
Некоторые многочлены могут быть разложены на множители с использованием формул сокращенного умножения. Для этого сначала многочлен приводится к нужному виду, используя метод группировки или вынесения общего множителя за скобки. Затем применяется соответствующая формула сокращенного умножения.
Например, для разложения многочлена 4x²–m²+2mn–n² на множители, можно объединить последние три члена в скобки, вынеся за скобки –1. Получим: 4x²–(m²–2mn+n²). Выражение в скобках можно представить в виде квадрата разности. Таким образом, получаем: (2x)²–(m–n)². Это разность квадратов, поэтому можем записать итоговое разложение: (2x–m+n)(2x+m+n).
Разложение при помощи неопределенных коэффициентов
Некоторые многочлены могут быть разложены на множители при помощи метода неопределенных коэффициентов. Для этого каждый многочлен третьей степени может быть представлен в виде (y–t)(my²+ny+k), где t, m, n, k – числовые коэффициенты. Задача сводится к определению значений этих коэффициентов, используя систему уравнений, полученную из равенства (y–t)(my²+ny+k)=my³+(n–mt)y²+(k–nt)y–tk.
Например, для разложения многочлена 2a³–a²–7a+2 на множители, можно использовать метод неопределенных коэффициентов. Из второй части формулы для многочлена третьей степени составляем равенства: m=2; n–mt=–1; k–nt=–7; –tk=2. Затем записываем систему уравнений и решаем ее. Найденные значения коэффициентов подставляем в первую часть формулы и получаем итоговое разложение: 2a³–a²–7a+2=(a–2)(2a²+3a–1).