Как решать по формуле Крамера

Содержание:

1. Метод Крамера: решение системы линейных уравнений с помощью матрицы
2. Шаг 1: Запись системы уравнений в матричном виде
3. Шаг 2: Нумерация переменных
4. Шаг 3: Условие квадратности матрицы
5. Шаг 4: Вычисление детерминанта основной матрицы
6. Шаг 5: Вычисление дополнительных детерминантов
7. Шаг 6: Нахождение значений неизвестных
8. Пример
9. Из коэффициентов перед неизвестными составим основной детерминант:
10. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
11. Вычислим его:
12. b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33
13. Аналогичную процедуру проведем со вторым и третьим столбцами:
14. a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33
15. a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3
16. Вычислим дополнительные детерминанты:
17. Нахождение неизвестных
18. Найдите значения неизвестных и запишите ответ:
19. x1 = Δ(1)/Δ, x2 = Δ(2)/Δ, x3 = Δ(3)/Δ.
20. Полезный совет

Метод Крамера: решение системы линейных уравнений с помощью матрицы

Метод Крамера является алгоритмом, позволяющим решить систему линейных уравнений при помощи матрицы. Этот метод был разработан Габриэлем Крамером, жившим в первой половине XVIII века.

Шаг 1: Запись системы уравнений в матричном виде

Первым шагом является запись заданной системы линейных уравнений в матричном виде. В основную матрицу записываются коэффициенты перед переменными, а дополнительные матрицы содержат свободные члены, обычно расположенные справа от знака равенства.

Шаг 2: Нумерация переменных

Каждой переменной присваивается свой "порядковый номер". Например, во всех уравнениях системы на первом месте стоит x1, на втором – x2, на третьем – x3 и так далее. Каждая переменная соответствует своему столбцу в матрице.

Шаг 3: Условие квадратности матрицы

Для применения метода Крамера необходимо, чтобы получившаяся матрица была квадратной. Это означает, что число неизвестных должно быть равно количеству уравнений в системе.

Шаг 4: Вычисление детерминанта основной матрицы

Необходимо найти детерминант основной матрицы Δ. Он должен быть ненулевым, только в этом случае решение системы будет единственным и однозначно определенным.

Шаг 5: Вычисление дополнительных детерминантов

Для вычисления дополнительных детерминантов Δ(i) замените i-й столбец столбцом свободных членов. Число дополнительных определителей будет равно числу переменных в системе. Вычислите все определители.

Шаг 6: Нахождение значений неизвестных

Из полученных определителей найдите значения неизвестных. Формула для нахождения переменных выглядит следующим образом: x(i) = Δ(i)/Δ.

Пример

Рассмотрим систему, состоящую из трех линейных уравнений с тремя неизвестными x1, x2 и x3:

a11•x1 + a12•x2 + a13•x3 = b1,
a21•x1 + a22•x2 + a23•x3 = b2,
a31•x1 + a32•x2 + a33•x3 = b3.

Из коэффициентов перед неизвестными составим основной детерминант:

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

Вычислим его:

Δ = a11•a22•a33 + a31•a12•a23 + a13•a21•a32 – a13•a22•a31 – a11•a32•a23 – a33•a12•a21.

Заменим первый столбец свободными членами и составим первый дополнительный определитель:

b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33

Аналогичную процедуру проведем со вторым и третьим столбцами:

a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33

a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3

Вычислим дополнительные детерминанты:

Δ(1) = b1•a22•a33 + b3•a12•a23 + a13•b2•a32 – a13•a22•b3 – b1•a32•a23 – a33•a12•b2.
Δ(2) = a11•b2•a33 + a31•b1•a23 + a13•a21•b3 – a13•b2•a31 – a11•b3•a23 – a33•b1•a21.
Δ(3) = a11•a22•b3 + a31•a12•b2 + b1•a21•a32 – b1•a22•a31 – a11•a32•b2 – a33•a12•a21.

Нахождение неизвестных

Найдите значения неизвестных и запишите ответ:

x1 = Δ(1)/Δ, x2 = Δ(2)/Δ, x3 = Δ(3)/Δ.

Полезный совет

Для определителей второго и третьего порядка формулы можно запомнить легко. Вычисление определителей более высоких порядков можно осуществить методом Гаусса.