Как решить дифференциальное уравнение первого порядка
- Решение дифференциального уравнения первого порядка
- Шаг 1: Изучение уравнения
- Шаг 2: Представление производной
- Шаг 3: Разделение переменных
- Шаг 4: Интегрирование
- Шаг 5: Вычисление интегралов
- Шаг 6: Получение общего решения
- Шаг 7: Окончательное решение
Решение дифференциального уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка относится к простейшим дифференциальным уравнениям. Они наиболее легко поддаются исследованию и решению, а в конечном итоге их всегда можно проинтегрировать.
Шаг 1: Изучение уравнения
Рассмотрим решение дифференциального уравнения первого порядка на примере xy' = y. В уравнении присутствуют следующие переменные: x - независимая переменная, y - зависимая переменная (функция), y' - первая производная функции. Важно отметить, что в некоторых случаях в уравнении первого порядка могут отсутствовать переменные x или y, но необходимо, чтобы присутствовала первая производная y', а производные высших порядков (y'', y''') отсутствовали.
Шаг 2: Представление производной
Представим производную в виде y' = dy/dx (эта формула известна из школьной программы). Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом: x * dy/dx = y, где dy и dx - дифференциалы.
Шаг 3: Разделение переменных
Разделим переменные: оставим переменные, содержащие y, в левой части уравнения, а переменные, содержащие x, - в правой части. Получим: (dy/dx) * dy = dx * dx.
Шаг 4: Интегрирование
Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение: ∫(dy/dx) * dy = ∫dx * dx
Шаг 5: Вычисление интегралов
Вычислим интегралы. В данном простом случае они являются табличными. Получим следующее: ln|y| = ln|x| + C, где C - константа.
Шаг 6: Получение общего решения
Теперь представим ответ в явном виде, то есть найдем общее решение. Перепишем полученное уравнение следующим образом: ln|y| = ln|Cx|. Воспользуемся свойством логарифма ln(a) + ln(b) = ln(ab) для правой части уравнения (ln|Cx|). Отсюда выразим y: y = Cx.
Шаг 7: Окончательное решение
Уберем логарифмы с обеих частей уравнения и уберем модули: y = Cx, где C - константа. Полученная функция представляет собой общее решение для дифференциального уравнения первого порядка xy' = y.
