Как решить систему из трёх уравнений

Содержание:

1. Алгоритм замены неизвестных в системе уравнений
2. Шаг 1: Пример системы уравнений
3. Шаг 2: Замена неизвестного x
4. Шаг 3: Замена неизвестных в остальных уравнениях
5. Шаг 4: Раскрытие скобок и упрощение уравнений
6. Шаг 5: Замена неизвестного y
7. Шаг 6: Последняя замена и нахождение решения
8. Найденное значение z
9. Найденное значение y
10. Вывод

Алгоритм замены неизвестных в системе уравнений

Все системы из трех уравнений с тремя неизвестными решаются одним способом – путем последовательной замены неизвестного выражением, содержащим в себе другие два неизвестных, сокращая таким образом их число.

Шаг 1: Пример системы уравнений

Чтобы разобраться, как работает алгоритм замены неизвестных, в качестве примера возьмем следующую систему уравнений с тремя неизвестными x, y и z:
2x + 2y - 4z = -12
4x - 2y + 6z = 36
6x - 4y - 2z = -16

Шаг 2: Замена неизвестного x

В первом уравнении перенесите все слагаемые, кроме x, умноженного на 2, в правую часть и разделите на множитель, стоящий перед x. Таким образом, вы получите значение x, выраженное через две другие неизвестные z и y.
x = -6 - y + 2z

Шаг 3: Замена неизвестных в остальных уравнениях

Теперь работайте со вторым и третьим уравнениями. Замените все x на полученное выражение, содержащее только неизвестные z и y.
4*(-6 - y + 2z) - 2y + 6z = 36
6*(-6 - y + 2z) - 4y - 2z = -16

Шаг 4: Раскрытие скобок и упрощение уравнений

Раскройте скобки, учитывая знаки перед множителями, выполните действия сложения и вычитания в уравнениях. Перенесите слагаемые без неизвестных (числа) в правую часть уравнения. Вы получите систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
-6y + 14z = 60
-10y + 10z = 20

Шаг 5: Замена неизвестного y

Теперь выделите неизвестное y, чтобы его можно было выразить через z. Перенесите z со знаком в правую часть уравнения и разделите обе части на множитель y.
-10y = -2 + z

Шаг 6: Последняя замена и нахождение решения

Подставьте полученное выражение для y в уравнение, которое не было задействовано. Раскройте скобки, учитывая знак множителя, выполните действия сложения и вычитания, и вы получите:
-6*(-2 + z) + 14z = 60
12 - 6z + 14z = 60
8z = 48
z = 6

Найденное значение z

Теперь вернитесь к уравнению, где y определен с помощью z, и поставьте значение z в уравнение. У вас получится:
y = -2 + z = -2 + 6 = 4

Найденное значение y

Вспомните самое первое уравнение, в котором x выражен через z и y. Подставьте в него их числовые значения. У вас получится:
x = -6 - y + 2z = -6 - 4 + 12 = 2

Вывод

Таким образом, все неизвестные найдены. Алгоритм замены неизвестных позволяет решать системы линейных уравнений с помощью последовательной замены неизвестных и упрощения уравнений. Точно таким же способом можно решать и нелинейные уравнения, где множителями выступают математические функции.