Главная Войти О сайте

Как считать матрицы

Как считать матрицы

Содержание:
  1. Понятие «матрица» и ее определение
  2. Операции над матрицами: сложение и умножение на число
  3. Произведение матриц
  4. На рисунке приведен пример произведения матриц размерности 2*2.

Понятие «матрица» и ее определение

Понятие "матрица" является основным в курсе линейной алгебры. Матрицей называется прямоугольная таблица, состоящая из чисел и имеющая определенное количество строк (m) и столбцов (n). Если количество строк равно количеству столбцов (m = n), то матрица называется квадратной. Обычно матрицы обозначаются большими латинскими буквами, например A, или A = (aij), где (aij) - элемент матрицы, i - номер строки, j - номер столбца.

Операции над матрицами: сложение и умножение на число

Для описания операций над матрицами, необходимо ввести их определения. Пусть даны две матрицы A = (aij) и B = (bij) размерности m*n.

Операция сложение матриц заключается в создании новой матрицы C = (cij) такой же размерности, где элементы cij определяются как сумма соответствующих элементов матриц A и B: cij = aij + bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2 …, n). Сложение матриц обладает свойствами коммутативности (A + B = B + A) и ассоциативности ((A + B) + C = A + (B + C)).

Операция умножение матрицы на действительное число ? заключается в создании новой матрицы C = (cij), где элементы cij определяются как произведение ? и элементов матрицы A: cij = ? * aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2 …, n). Умножение матрицы на число обладает свойствами ассоциативности ((??)A = ?(?A)), дистрибутивности (?(А + В) = ?А + ?В), и коммутативности ((? + ?)В = ?В + ?В).

Введя операцию умножения матрицы на скаляр, можно ввести операцию вычитания матриц. Разностью матриц A и B будет матрица C, которую можно вычислить по правилу: C = A + (-1)*B.

Произведение матриц

Для того чтобы умножить матрицу A на матрицу B, необходимо, чтобы количество столбцов матрицы A было равно количеству строк матрицы B. Произведением матрицы A размерности m*n на матрицу B размерности n*p будет матрица C размерности m*p, где ее элементы cij определяются по формуле cij = ai1*b1j + ai2*b2j + … + ain*bnj (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2 …, p).

Произведение матриц обладает свойствами ассоциативности ((A * B) * C = A * (B * C)) и дистрибутивности ((A + B) * C = A*C + B*C или A * (B + C) = A*B + A*C).

На рисунке приведен пример произведения матриц размерности 2*2.


CompleteRepair.Ru