Как составить математические модели
- Метод статистического моделирования
- Основы статистического моделирования
- Принципы статистического моделирования
- Инструменты статистического моделирования
- Моделирование произвольной случайной величины
- Пример моделирования экспоненциального распределения
Метод статистического моделирования
Простейшая математическая модель гармонического колебания Acos(ωt-φ) является детерминистичной и точной. Однако в физике и технике точность таких моделей недостаточна. Для более точных измерений применяют статистическое моделирование. Метод статистического моделирования, также известный как метод "Монте-Карло", основан на создании вероятностных моделей случайных явлений.
Основы статистического моделирования
Основой случайного процесса является случайная величина или случайный процесс, которые описываются вероятностными моделями. Плотность вероятности случайной величины позволяет создавать цифровые модели случайных процессов без проведения натурных экспериментов. Однако статистическое моделирование возможно только в дискретном виде и в дискретном времени.
Принципы статистического моделирования
При статистическом моделировании необходимо отойти от рассмотрения конкретной физической природы явления и сосредоточиться на его вероятностных характеристиках. Это позволяет использовать простейшие явления с одинаковыми вероятностными показателями для моделирования более сложных явлений. Каждый этап статистического моделирования называется розыгрышем, а для определения оценки математического ожидания необходимо провести несколько розыгрышей случайной величины.
Инструменты статистического моделирования
Основным инструментом моделирования на ЭВМ являются датчики случайных чисел, равномерных на интервале (0, 1). В языке программирования Pascal такое случайное число можно получить с помощью команды Random. На калькуляторах также существуют кнопки, генерирующие случайные числа. Такие числа могут быть представлены в виде таблиц, содержащих большое количество случайных чисел.
Моделирование произвольной случайной величины
Для моделирования произвольной случайной величины с помощью нелинейного преобразования функции распределения необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти функцию распределения Х, обозначенную F(x), используя плотность вероятности W(x).
2. Записать уравнение z=F(x) и разрешить его относительно x.
3. Полученное решение x=F^(-1)(z) является алгоритмом моделирования.
4. Последовательно генерировать значения xi с помощью этого алгоритма для получения цифровой модели случайной величины X.
Пример моделирования экспоненциального распределения
Предположим, что случайная величина X имеет плотность вероятности W(x)=λexp(-λx), x≥0 (экспоненциальное распределение). Чтобы получить цифровую модель этой случайной величины, выполним следующие шаги:
1. Найдем функцию распределения: F(x)=∫(0,x)λ∙exp(-λs)ds=1- exp(-λx).
2. Уравнение z=1- exp(-λx) можно переписать как x=(-1/λ)∙ln(1-z), где z является равномерной на (0, 1) случайной величиной.
3. Процедура моделирования экспоненциальной случайной величины заключается в генерации значений xi по формуле x=(-1/λ)∙lnz, где z представляет собой равномерно распределенную случайную величину.
Таким образом, статистическое моделирование позволяет создавать цифровые модели случайных процессов с помощью вероятностных моделей и нелинейных преобразований функций распределения. Этот метод является более точным и эффективным для измерения и анализа случайных явлений в физике и технике.
